45. Формула Тейлора. Теорема Тейлора. Ряд Маклорена

Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.

Формула Тейлора

, где R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора.

Остаточный член формулы Тейлора

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

Формулировка теоремы

Точная формулировка большинства базовых версий теоремы такова.

Теорема Тейлора^[1] Пусть k ≥ 1 является целым, и пусть функция f : R → R является k раз дифференцируемой в точке a ∈ R. Тогда существует функция h_k : R → Rтакая, что

Многочлен, возникающий в теореме Тейлора, является многочленом Тейлора k-го порядка

функции f в точке a.

Теорема Тейлора описывает асимптотическое поведение остаточного члена

который является ошибкой при нахождении приближения функции f с помощью многочленов Тейлора. Используя «O» большое и «o» малое теорему Тейлора можно сформулировать так

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.  , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.  Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена











46. Ряды Маклорена для элементарных функций

48. Исследование функций. Условие постоянства функции. Признак монотонности функции Исследование функции и построение ее графика

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

1. Область определения   и область допустимых значений   функции.

2. Четность, нечетность функции.

3. Точки пересечения с осями.

4. Асимптоты функции.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

7. Сводная таблица.

Постоянство ф-ции.

Теорема. Пусть   определена и непрерывна на промежутке  Для того, чтобы она была равна константе необходимо и достаточно, чтобы  .

Доказательство.

Необходимость. Пусть  . Но тогда  .

Достаточность. Пусть  . Возьмем две любые точки  . Тогда по формуле Лагранжа

т.е. . Так как это верно для любых   и   то отсюда следует, что 

Признак монотонности функции

Промежутки монотонности функции совпадают с промежутками постоянного знака ее производной.

Доказательство. Будем понимать заданную функцию  у = f(x)  как закон движения материальной точки  Р  по оси  у  в зависимости от времени  х.  Пусть на некотором промежутке функция  f  возрастает. На языке механики это означает, что материальная точка  Р  движется по оси  у  в положительном направлении. Так как знак скорости совпадает с направлением движения, то скорость точки, т. е. производная функции положительна. Обратно: если производная, т. е. скорость точки, положительна, то точка движется по оси  у  в положительном направлении, следовательно, функция возрастает. Аналогично рассматривается случай убывания функции.

Замечание. Если точка движется в одном направлении, то ее скорость сохраняет постоянный знак, однако в отдельные моменты времени точка может остановиться (ее скорость обратится в нуль), а затем продолжать двигаться в том же направлении. Функция, описывающая такое движение точки, будет монотонной. Значит, если f(x) возрастает,то f'(x) > 0. Верно и обрат­ное. Однако если  f'(x)  обращается в нуль не в отдельных точках, а на целом промежутке, то на этом промежутке функция будет постоянной. Если включить промежутки постоянства функции в промежутки ее монотонности (как иногда говорят, не требовать строгой монотонности функции), то можно коротко результат исследования записать так: