4. Классы интегрируемых функций

Убедимся, что интегрируемых функций достаточно много.

Теорема 9.6.1Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 9.6.2.Ограниченная на отрезке функция , имеющая на конечное число точек разрыва, интегрируема на .

Теорема 9.6.3.Если функция монотонна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Пример 9.6.1. Функция, график которой представлен на рис., имеет бесконечное число точек разрыва, но интегрируема на отрезке , так как она на нем монотонна.

5. Свойства определенных интегралов, выраженные равенствами

Доопределим понятие интеграла при a ≥ b следующими равенствами:

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

1. Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке

2. Для любых a, b и c

3. Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A

4. Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.

5. Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любогоa

6. Свойства определенных интегралов, выраженные неравенствами

Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и g интегрируемы на [a; b]).

1. Если f (x) ≥ g (x), то

2. В частности, если f (x) ≥ 0, то

3. Если f (x) ≥ 0 для любого  и существует такое, что  причем f (x) непрерывна в  то

4. |f (x)| интегрируема на [a; b], причем

5. Если на отрезке [a; b]  m ≤ f (x) ≤ M, то

7 Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница

Рассмотрим функцию , заданную на отрезке , и предположим, что она интегрируема на отрезке . Тогда при любом эта функция будет интегрируема на отрезке и, следовательно, функция

определена при всех . При мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что для любой функции и точки из её области определения. Итак, функция равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции , не обязательно непрерывной.

   Теорема 3.11   Функция , определённая выше, непрерывна при всех для любой интегрируемой функции .

  

Теорема (Барроу):

Пусть и непрерывна в . Тогда дифференцируема в этой точке и её производная равна . Теорема (формула Ньютона-Лейбница): Пусть дифференцируема на , её производная интегрируема на этом же отрезке Тогда

8 Замена переменных под знаком определенного интеграла

Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть , тогда

Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство остается справедливым и в случае, когда — промежуточный аргумент, т.е. . Это значит, что формула верна и при . Таким образом,

, или .

Итак, если является первообразной для на промежутке , а — дифференцируемая на промежутке функция, значения которой принадлежат , то — первообразная для , и, следовательно,

Эта формула позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла . При этом мы подставляем вместо переменную , а вместо дифференциал этой переменной, т. е. . Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла надо снова заменить на .

9. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

        Теорема   Пусть функции и имеют на отрезке непрерывные производные и . Тогда имеет место формула

    

        Замечание  Заметим, что эту формулу можно записать в виде

где выражение

называется внеинтегральным членом. Введя обозначения и , мы можем переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде: