5. Разложение полинома на множители. Кратные корни. Теорема о необходимом и достаточном условии существовании кратного корня

Любой многочлен степени n вида   представляется произведением постоянного множителя при старшей степени   и n линейных множителей  , i=1, 2, …, n, то есть  , причем  , i=1, 2, …, n являются корнями многочлена.

Эта теорема сформулирована для комплексных корней  , i=1, 2, …, n и комплексных коэффициентов  , k=0, 1, 2, …, n. Она является основой для разложения любого многочлена на множители.

Если коэффициенты  , k=0, 1, 2, …, n – действительные числа, то комплексные корни многочлена ОБЯЗАТЕЛЬНО будут встречаться комплексно сопряженными парами.

К примеру, если корни   и   многочлена   являются комплексно сопряженными, а остальные корни действительные, то многочлен представится в виде  , где 

Замечание.

Среди корней многочлена могут быть повторяющиеся.

Доказательство теоремы проводится с использованием основной теоремы алгебры и следствия из теоремы Безу.

Определение. Число   называется корнем полинома  , если  .

В силу теоремы Безу это равносильно тому, что  .

Определение. Число   называется корнем кратности   полинома  , если   и  . Корни кратности 1 называются простыми корнями, корни кратности больше 1 называются кратными корнями.

Теорема. Если   — корень кратности   полинома  , то   — корень кратности   полинома  . Если   — общий корень  , то   — кратный корень  .

Доказательство. Пусть   — корень кратности   полинома  .

1. Если  , то   — корень кратности   многочлена  .

2. Если   корень  , то   и, значит,   — кратный корень многочлена  .

6. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида

Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делите-лем каждого из них. Например, числа  36,  60,  42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и есть наибольший общий делитель (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:

1)  представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,

2)  записать степени всех простых множителей:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5¹,

3)  выписать все общие делители (множители) этих чисел;

4)  выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;

5)  перемножить эти степени.

Алгоритм Евклида для целых чисел

Пусть   и   — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

определена тем, что каждое   — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть

Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель   и  , равен  , последнему ненулевому члену этой последовательности.

Существование таких  , то есть возможность деления с остатком   на   для любого целого   и целого  , доказывается индукцией по m.

Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:

Пусть  , тогда НОД (a, b) = НОД (b, r).

7. Операция освобождения полинома от кратных корней