8. Интегрирование выражений, содержащих радикалы

Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. В дальнейшем будем стремиться отыскивать такие подстановки   которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду. Если при этом функция   выражается через элементарные функции, то интеграл представится в конечном виде и в функции от х.

Назовем этот прием методом рационализации подынтегрального выражения.

1) Интегралы вида  , 

где R означает рациональную функцию от двух аргументов,

 - постоянные.

Полагаем,  .

Интеграл приводится к виду

 

здесь   - рациональные функции.

Вычислив этот интеграл по правилам интегрирования рациональных функций, вернемся к старой переменной, подставив 

К интегралу вида (1) сводятся более общие интегралы

 

где показатели r, s,… - рациональны.

Нужно привести эти показатели к общему знаменателю m, чтобы под знаком интеграла получить рациональную функцию от х и радикала 

9. Интегрирование биномиальных дифференциалов

Интегрирование биномиальных дифференциалов 

рационализуется лишь в трех случаях:

     1)   подстановка   где k - общий знаменатель m и n;

     2)   подстановка   где k - знаменатель p;

     3)   подстановка   где k - знаменатель p.

     Интегрирование рационально-тригонометрических функций 

всегда рационализует универсальная подстановка 

     Специальные подстановки 

     1) Если R (-sin x, cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка cos x = t.

     2) Если R (sin x, -cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка sin x = t.

     3) Если R (-sin x, -cos x) = R (sin x, cos x), то рационализует подстановка tg x = t.

     Интегрирование рационально-гиперболических функций 

рационализует подстановка 

10. Интегрирование квадратичных иррациональностей подстановками Эйлера

ЭЙЛЕРА ПОДСТАНОВКА

- замена переменной х=x(t) в интеграле

  где   - рациональная функция своих аргументов, сводящая этот интеграл к интегралу отрациональной функции и имеющая один из следующих трех видов. Первая подстановка Эйлера: если а>0,то 

Вторая подстановка Эйлера: если корни х ₁ и x₂ квадратного трехчлена ах ²+bх+с действительные, то 

Третья подстановка Эйлера: если c>0, то    (в правых частях равенств можно брать любые комбинации знаков). При всех Э. п. как старая переменнаяинтегрирования x, так и радикал   рационально выражаются через новую переменную t.  Две первые Э. п. позволяют всегда свести интеграл (1) к интегралу от рациональной функции на любомпромежутке, на к-ром радикал   пррнимает только действительные значения.  Геометрич. смысл Э. п. состоит в том, что кривая 2-го порядка 

имеет рациональное параметрич. представление: именно, если за параметр tвзять угловые коэффициентыпучка секущих у-y₀=t(x-x₀), проходящих через точку (x₀,y₀) кривой (2), то координаты этой кривой будутрационально выражаться через переменную t. В случае, когда а>0 и, следовательно, кривая (2) являетсягиперболой, для того, чтобы получить 1-ю Э. п., за точку (x₀,y₀) следует взять одну из бесконечно удаленныхточек, определяемых направлениями асимптот этой гиперболы; в случае, когда корни х ₁ и х ₂ квадратичноготрехчлена ах²+bх+с действительны, для того, чтобы получить 2-ю Э. п., надо взять за точку (x₀,y₀) одну източек (x₁.0) или (х ₂, 0); а в случае, когда с>0, чтобы получить 3-ю Э. п.- одну из точек пересечения кривой (2)с осью ординат, т. е. одну из точек