Решение (первый способ)

1. Конус совершает сферическое движение, при котором вершина конуса остается неподвижной. Мгновенная ось вращения совпадает с образующей конуса, касающейся неподвижной плоскости. Выберем систему координат так, чтобы ось совпадала с мгновенной осью вращения (рис. 2.44). Изобразим векторы угловой скорости переносного (вокруг оси ) и относительного (вокруг оси ) вращений и .

2. Определим угловую скорость конуса как сумму угловых скоростей составляющих вращений

При этом ; ; . Откуда

.

Угловую скорость можно также определить из геометрических соображений (рис. 2.44).

3. Определим угловое ускорение конуса как скорость конца вектора , поворачивающегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростью по формуле Эйлера

= = .

4. Скорости точек вычислим по формуле Эйлера

,

где – радиус-вектор точки ;

; ;

; .

Откуда

; = ;

= ; .

5. Ускорения точек определим как сумму осестремительного и вращательного ускорений по формулам

; .

Откуда

; ;

; .

6. Аналитический метод определения скоростей и ускорений точек при его сферическом движении может быть реализован в матричной форме с помощью равенств

,

где

– вектор-столбец координат точек тела;

– матрица угловой скорости;

– матрица углового ускорения;

.

Решение (второй способ):

1. Определим угловую скорость конуса. Конус совершает сферическое движение, так как одна его точка (точка О) остается во время движения неподвижной. Мгновенная ось вращения OP совпадает с образующей конуса OA₄. Через ось конуса OС и мгновенную ось вращения проведем плоскость  (рис. 2.45 а), которая вращается вокруг оси с угловой скоростью . Точка С все время находится в плоскости  и траекторией этой точки будет окружность радиусом CD. Ее скорость определяется равенством

а
б
Рис. 2.45

.

Скорость точки С является вращательной скоростью вокруг мгновенной оси и угловая скорость конуса определяется равенством

.

Вектор угловой скорости направлен по мгновенной оси так, что с конца этого вектора вращение тела видно против хода часовой стрелки.

2. Определим угловое ускорение конуса как скорость точки E – конца вектора угловой скорости (рис. 2.45 б)

.

Вектор направлен по оси OQ, которая называется осью углового ускорения.

3. Определим скорости точек конуса как вращательные при его движении вокруг мгновенной оси вращения. Так как точка A₄ находится на мгновенной оси вращения то (рис. 2.45 а). Скорость точки A₂ определяется равенством

.

Вектор скорости точки A₂ направлен параллельно оси .

4. Определим ускорения точек A₂, A₄ и С конуса как сумму их вращательных и осестремительных ускорений

где , .

Откуда для точки A₄

,

Вектор ускорения точки A₄ совпадает с вектором вращательного ускорения и направлен параллельно оси (рис. 2.45 б)

Для точки A₂

, .

Вектор вращательного ускорения направлен перпендикулярно отрезку ОА₂, вектор осестремительного ускорения направлен к мгновенной оси вращения и параллелен оси (рис. 2.45 б)

Модуль ускорения точки A₂ удобно определить координатным способом через проекции на неподвижные оси координат:

Откуда

.

Так как точка С все время находится в плоскости , которая равномерно вращается вокруг оси , то

Вектор ускорения точки С направлен к оси z (рис. 2.45 б).