Решение
1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из призмы и цилиндра.
2.
Система имеет две степени свободы. В
качестве обобщенных координат выберем
,
определяющую положение призмы на
горизонтальной плоскости, полагая, что
при
пружина не деформирована, и относительную
координату
,
определяющую положение центра масс
цилиндра относительно призмы
(рис. 4.16 б).
3.
Изобразим активные силы: силы тяжести
и силу упругости пружины
.
4. Для получения дифференциальных уравнений движения механической системы составим уравнения Лагранжа второго рода
5. Для определения обобщенной силы сообщим системе виртуальное перемещение
Определяя элементарную работу активных сил на этом виртуальном перемещении
,
находим
.
Для определения обобщенной силы сообщим системе виртуальное перемещение
Определяя элементарную работу активных сил на этом виртуальном перемещении
,
находим
.
6. Определим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий призмы и цилиндра
.
Призма движется поступательно со скоростью , следовательно,
.
Цилиндр совершает плоское движение. Его кинетическая энергия определяется равенством
,
где – абсолютная скорость центра масс цилиндра, – угловая скорость цилиндра, – момент инерции однородного цилиндра радиуса относительно оси Сz.
По теореме о сложении скоростей
где
– переносная, а
– относительная скорости точки С
(рис. 4.16 б).
По теореме косинусов
.
Угловая скорость цилиндра определяется отношением
.
С учетом найденных соотношений кинетическая энергия цилиндра записывается равенством
.
Кинетическая энергия механической системы выражается следующей функцией обобщенных скоростей
.
7. Вычислим производные от кинетической энергии, входящие в уравнения Лагранжа (п. 4)
.
8. Подставляя найденные производные от кинетической энергии и обобщенные силы в уравнения Лагранжа (п. 4), получим дифференциальные уравнения движения механической системы
4.3. Устойчивость равновесия. Малые колебания механических систем с одной степенью свободы
Положение
и движение консервативной механической
системы с одной степенью свободы
определяется одной обобщенной координатой
.
Положения равновесия системы находятся из уравнения
.
Здесь
– потенциальная энергия механической
системы.
Устойчивость
положения равновесия консервативной
системы определяется теоремой
Лагранжа-Дирихле, согласно которой
потенциальная энергия в этом положении
должна быть минимальной. Тогда условия
минимума функции
в положении равновесия, в котором
полагается
,
записываются соотношениями:
,
.
Дифференциальное уравнение движения консервативной механической системы с одной степенью свободы можно получить различными методами, в частности, используя уравнение Лагранжа II рода
.
Здесь
– кинетическая энергия системы.
В
случае малых колебаний, когда
и
– величины малые, можно дифференциальные
уравнения линеаризировать, то есть
оставить лишь члены первого порядка
малости, отбросив члены более высокого
порядка малости. Эту линеаризацию можно
провести еще на стадии вычисления
кинетической и потенциальной энергий,
оставив в них члены не выше второго
порядка малости:
,
,
где a – обобщенный коэффициент инерции, c – обобщенный коэффициент жесткости.
Эти коэффициенты могут быть найдены без разложения в ряд потенциальной и кинетической энергий непосредственно по формулам
, 
.
Подставив
приближенные выражения для
и
в уравнение Лагранжа, получим линейное
дифференциальное уравнение, описывающее
малые колебания консервативной системы
с одной степенью свободы
,
где
– циклическая частота.
Период колебаний определяется равенством
.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
.
Постоянные
интегрирования
,
определяются по начальным условиям
,
и соответственно равны:
,
.
Тогда закон движения механической системы имеет вид
или в амплитудной форме
.
Пример
4.6. Горизонтальный однородный стержень
массой m длиной l, закрепленный
одним концом с помощью шарнира, другим
концом подвешен к вертикальной пружине
с коэффициентом жесткости
.
Определить циклическую частоту и период
малых свободных колебаний стержня около
горизонтального положения равновесия.