Решение

1. Определим скорость точки (рис. 2.20 б) кривошипа 1 из равенства

, .

2. Определим скорость точки . Так как кривошип 3 совершает вращательное движение, то

.

а б

Рис. 2.20

Скорости и параллельны, следовательно, стержень 2 совершает мгновенно-поступательное движение

и .

3. Определим угловое ускорение стержня 2 и ускорение точки . Известны направления составляющих ускорения точки (рис. 2.20 б), совершающей движение по окружности, поэтому используем порядок решения, изложенный в пункте а). Предварительно определим ускорение точки и примем ее за полюс.

Так как кривошип 1 вращается с постоянной угловой скоростью, то

, .

С учетом введенной системы координат (рис. 2.20 б) равенства (2.1) принимают вид

при этом

.

Из полученной системы уравнений находим

,

Откуда

а б

Рис. 2.21

.

Пример 2.7. Сателлит 2 радиусом  см планетарного механизма (рис. 2.21 а) приводится в движение кривошипом 1, вращающимся вокруг оси неподвижного центрального зубчатого колеса 3 с тем же радиусом. Кривошип вращается с угловым ускорением рад/с², имея в данный момент угловую скорость  рад/с. Определить угловое ускорение сателлита и ускорение той точки сателлита, которая в данный момент совпадает с мгновенным центром скоростей.

Решение

1. Определим скорость точки (рис. 2.21 б) кривошипа из равенства

или см/с.

2. Определим угловую скорость сателлита, совершающего плоское движение. Точка − его мгновенный центр скоростей. Тогда

или рад/с.

3. Определим угловое ускорение сателлита. В данном случае расстояние от точки до мгновенного центра скоростей сателлита остается постоянным во все время движения, следовательно, используем порядок решения, изложенный в пункте б).

,

где см/с².

Откуда

рад/с².

4. Определим ускорение точки . Принимая точку за полюс, по теореме об ускорениях точек при плоском движении имеем

или

где

см/с², см/с², см/с².

Ускорение точки М находим по его проекциям на оси и (рис. 2.21 б)

, см/с²,

см/с².

2.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей

При сложении вращений вокруг параллельных осей, происходящих в одном направлении, результирующее движение есть вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью равной сумме угловых скоростей составляющих вращений . При сложении вращений вокруг параллельных осей, происходящих в противоположных направлениях с разными по модулю угловыми скоростями результирующее движение есть вращение вокруг мгновенной оси в направлении составляющего вращения с большей угловой скоростью.

Угловая скорость результирующего вращения определяется разностью:

.

Когда , имеем, так называемую, пару вращений. Результирующее движение тела в этом случае поступательное.

Мгновенная ось делит расстояние между заданными осями внутренним или внешним образом на части, обратно пропорциональные заданным угловым скоростям.

При исследовании движения механизмов, состоящих из системы зубчатых колес, в которых происходит сложение вращений вокруг параллельных осей, удобно использовать метод обращенного движения (метод Виллиса). При этом всему механизму мысленно сообщается такое вращение, при котором оси вращающихся колес становятся неподвижными. В этом случае связь между угловыми скоростями пары колес, находящихся в зацеплении, определяется формулой Виллиса

где , – алгебраические угловые скорости первого и второго колеса, –алгебраическая угловая скорость, задаваемого всему механизму дополнительного вращения; , – радиусы колес. Здесь знак «плюс» относится к внутреннему зацеплению колес, а знак «минус» − к внешнему.

П ример 2.8. Редуктор скоростей состоит из четырех зубчатых колес (рис. 2.36) с радиусами см, см, см, см. Колесо 1 с частотой вращения  об/мин, и вал I с частотой вращения об/мин, вращаются в противоположных направлениях. Найти частоты вращений ведомого вала II, спаренных зубчатых колес 2 и 3 относительно водила, жестко связанного с валом I, абсолютную скорость точки В, положение мгновенной оси вращения колес 2 и 3.