3.6. Смешанные задачи

Полное исследование движения механических систем предполагает определение как кинематических характеристик (скоростей и ускорений) тел, входящих в систему, так и динамических характеристик (реакций внешних и внутренних связей). Для этой цели могут быть использованы общие теоремы динамики, а также полученные с их помощью дифференциальные уравнения движения твердого тела:

а) поступательного: , , ;

б) вращательного: ;

в) плоского: , , ,

где – момент инерции относительно подвижной оси, проходящей через центр масс тела.

Пример 3.8. Каток массой 8 кг, расположенный на горизонтальной плоскости, приводится в движение из состояния покоя посредством намотанной на него нити, перекинутой через неподвижный блок массой 2 кг, с подвешенным на ее конце грузом массой 4 кг. При этом участок нити, сходящий с катка горизонтален. Определить ускорение груза, реакции внешних и внутренних связей, если каток катится без скольжения. Блок и каток считать круглыми однородными цилиндрами.

Решение

1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из груза 1, блока 2, катка 3 и нити, соединяющей тела (рис. 3.21).

2. Изобразим действующие на систему внешние силы: тяжести , нормальную реакцию горизонтальной плоскости , силу трения между катком и плоскостью и реакции подшипника в точке О (рис. 3.21).

3 . Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

.

4. Найдем кинетическую энергию механической системы как сумму кинетических энергий тел, входящих в эту систему

Учитывая кинематические соотношения

и выражения для осевых моментов инерции блока и катка относительно осей, проходящих через их центры масс

, .

находим

8 кг,

где m_пр – «приведенная» масса системы.

5. Определим сумму мощностей внешних сил, действующих на систему.

.

Мощность остальных внешних сил равна нулю, так как они приложены либо в точках, скорости которых равны нулю, либо в точке, скорость которой перпендикулярна силе.

Сумма мощностей внутренних сил в данной системе равна нулю.

6. Найдем ускорение груза 1, подставив найденные выражения для кинетической энергии и мощности в равенство, выражающее дифференциальную форму записи теоремы об изменении кинетической энергии (п. 3),

.

Учитывая, что

находим

м/с².

7. Для определения сил натяжения нитей, реакций подшипника, реакции горизонтальной плоскости и силы трения воспользуемся динамическими уравнениями поступательного движения груза, вращательного движения блока и плоского движения катка.

Уравнение поступательного движения груза

С учетом действующих сил (рис. 3.22 а) в проекции на вертикальную ось имеем

.

Откуда

Н.

Применяя теорему о движении центра масс и динамическое уравнение вращательного движения для блока

, ,

с учетом действующих сил (рис. 3.22 б), записывая первое уравнение в проекциях на оси координат, получим

;

, где ;

, где .

а	б	в
Рис. 3.22

Откуда

, , .

Используя динамические уравнения движения катка

,

с учетом действующих сил (рис. 3.22 в), записывая первое уравнение в проекциях на оси координат, получим

, где , ,

,

.

Из первых двух уравнений находим

Н, Н.

Знак «–» у силы трения означает, что в действительности эта сила направлена в противоположную сторону.

Последнее уравнение с учетом кинематического соотношения может быть использовано для проверки расчетов.