Решение

1 . Изобразим маятник в произвольном положении, определяемом углом , который будем отсчитывать от начального положения нити (рис. 3.38).

2. Укажем силы, действующие на груз, принимаемый за материальную точку: силу тяжести и силу реакции нити , равную по величине ее натяжению.

3. Вводя в рассмотрение естественные оси, изобразим на рисунке 3.38 нормальную и касательную силы инерции. При этом и

4. Для определения натяжения нити воспользуемся принципом д’Аламбера для материальной точки, рассматривая уравновешенную систему сил . Составляем уравнения равновесия полученной системы сходящихся сил:

Откуда

, .

5. Для определения скорости груза сделаем замену переменной в дифференциальном уравнении с учетом равенства

, при этом .

В результате замены переменной дифференциальное уравнение движения груза имеет вид

при начальном условии: = 0.

Выполняя разделение переменных и интегрируя с учетом заданного начального условия

,

находим

.

6. Подстановка найденного значения скорости груза в полученное (п. 4) выражение для реакции нити дает

.

Пример 3.11. Тонкий прямолинейный однородный стержень длиной l массой m вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью , будучи шарнирно прикрепленным к ней своим концом. Вычислить угол отклонения стержня от вертикального направления, а также величину реакции шарнира.

Р ешение

1. Введем подвижную систему координат , поворачивающуюся вместе со стержнем (рис. 3.39). Рассматривая движение стержня, изобразим активную силу и составляющие реакции шарнира и в точке O.

2. Укажем распределенную систему сил инерции точек стержня, пропорциональных расстояниям от этих точек до оси вращения (рис. 3.39). Заменим распределенную систему параллельных сил инерции их равнодействующей

,

приложенной на расстоянии от точки закрепления стержня, где - ускорение центра масс стержня.

Так как вращение равномерное, то и .

3. Для определения реакции шарнира и угла отклонения стержня воспользуемся принципом д’Аламбера для механической системы, рассматривая уравновешенную систему сил . Составляя уравнения равновесия плоской системы сил

с учетом выражения для силы инерции, находим

, , .

Откуда

, .

3.9. Общие теоремы динамики при ударе

Взаимодействие тел, при котором за малый промежуток времени  скорости точек изменяются на конечную величину, называется ударом. Время удара  измеряется сотыми, тысячными и менее долями секунды. Силы, возникающие при таком взаимодействии, называются ударными.

Прямым центральным ударом называют такое взаимодействие тел, при котором их скорости направлены по общей нормали в точке касания и эта точка лежит на прямой, соединяющей центры масс.

При расчетах в элементарной теории удара принимают следующие допущения:

– скорости точек изменяются на конечную величину за малый промежуток времени;

– импульсы обычных сил малы по сравнению с импульсами ударных сил;

– перемещениями точек за время удара можно пренебречь.

Физические свойства соударяющихся тел характеризуются коэффициентом восстановления

, (3.1)

являющимся отношением проекций относительной скорости точки контакта тел после удара и до удара на направление общей нормали к поверхно­стям тел в точке соприкосновения (гипотеза Ньютона). Коэффициент восстановления определяется экспериментально, и его значения имеются в справочной литературе. При прямом ударе материальной точки о неподвижную поверхность коэффициент восстановления определяется равенством

.

Основное уравнение теории удара. Изменение количества движения материальной точки за время удара равно сумме ударных импульсов, действующих на точку

, (3.2)

где – скорость материальной точки до удара, – скорость этой точки после удара.

Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Изменение количества движения механической системы за время удара равно сумме внешних ударных импульсов, действующих на точки системы:

.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе. Изменение кинетического момента механической системы относительно любого неподвижного центра (оси) за время удара равно сумме моментов всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно этого же центра (оси):

, .

Теорема о потере кинетической энергии (теорема Карно). При неупругом ударе в механической системе потеря кинетической энергии равна кинетической энергии данной системы, если бы она двигалась с потерянными скоростями:

.

В случае упругого удара

.

При действии на вращающееся твердое тело ударного импульса в подшипниках возникают ударные реакции. Для определения импульсов ударных реакций вводится система координат, в которой координатная плоскость Oyz проходит через центр масс тела (через точку С), а ось Oz совмещена с осью вращения (рис. 3.45). Импульсы ударных реакций и угловая скорость после удара определяются из системы уравнений, которая получается в результате записи теорем об изменении количества движения и кинетического момента механической системы при ударе в проекциях на оси координат

(3.3)

Центр удара – это точка вращающегося тела, при действии на которую ударного импульса не возникает ударной реакции.

Д ля того чтобы при действии ударного импульса на вращающееся тело в подшипниках не возникали ударные реакции, нужно, чтобы выполнялись следующие условия:

– точка приложения ударного импульса должна лежать в плоскости, проходящей через центр масс и ось вращения, на расстоянии (m – масса тела, h – расстояние от оси вращения до центра масс, I_z – момент инерции тела относительно оси вращения);

– ударный импульс должен быть направлен перпендикулярно этой плоскости;

– ось вращения должна являться главной для точки ее пересечения с плоскостью действия ударного импульса.

Пример 3.12. Шарик массой т ударяется о гладкую плиту массой M со скоростью , перпендикулярной поверхности плиты. Коэффициент восстановления при ударе равен k. Определить величину ударного импульса S и скорость , с которой шарик отскочит от плиты, в двух случаях: 1) плита неподвижна до и после удара; 2) плита движется поступательно навстречу шарику со скоростью , которая составляет со скоростью шарика угол . Рассмотреть частный случай, когда масса плиты значительно больше массы шарика, т.е. М >> m. При расчетах принять: т = 10 кг; М = 50 кг; k = 0,5; v₁ = 2 м/c; v₂ = l м/с.