3.7. Тензор инерции

Распределение масс точек твердого тела относительно фиксированной (связанной с телом) системы координат описывает тензор инерции, симметрическая матрица которого имеет вид

,

где , , − осевые моменты инерции, , , − центробежные моменты инерции.

Физический смысл тензора инерции как линейного оператора может быть проиллюстрирован на примере линейной связи между проекциями вектора угловой скорости и проекциями кинетического момента твердого тела при его сферическом движении на оси фиксированной системы координат с началом в неподвижной точке О.

.

В новой, повернутой относительно точки O, системе координат элементы матрицы тензора инерции определяются равенством

,

где − косинусы углов между новыми и старыми осями. Здесь используется традиционная нумерация координатных осей ( ).

Оси координат , и , для которых матрица тензора инерции имеет диагональный вид, называются главными осями инерции твердого тела. Если начало координат совпадает с центром масс, то они называются главными центральными осями инерции.

Главной осью инерции также называется ось , для которой центробежные моменты инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю ( ). Из определения центробежных моментов инерции следует, что ось симметрии однородного тела является главной для всех точек данной оси; для точек, лежащих в плоскости материальной симметрии, главной является ось, перпендикулярная этой плоскости. Для точек, лежащих на главных центральных осях инерции тела, главные оси инерции параллельны главным центральным осям инерции.

Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями

,

где − расстояние между осями.

Центробежные моменты инерции тела относительно осей системы координат параллельных осям системы координат с началом в центре масс определяются равенствами:

,

,

,

где – координаты центра масс тела.

Пример 3.9. Тонкий однородный стержень массой и длиной прикреплен в своей середине к вертикальной оси (рис. 3.30). Вычислить моменты инерции стержня и центробежный момент инерции в заданной системе координат.

Решение

1 . Запишем тензор инерции стержня в главных центральных осях инерции

.

2. Запишем матрицу перехода от системы координат к системе координат

.

3. Воспользуемся формулой преобразования

.

Откуда

3.8. Принцип д'Аламбера. Определение динамических реакций

Принцип д’Аламбера для точки. Если в фиксированный момент движения, кроме действующих на точку сил, добавить силу инерции, то система сил будет уравновешенной.

Силой инерции материальной точки называется сила, равная по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленная в сторону противоположную ускорению

.

Принцип д’Аламбера для механической системы. Если в фиксированный момент времени к каждой точке механической системы, кроме действующих сил, добавить силы инерции, то система сил будет уравновешенной.

Систему сил инерции, приложенных к точкам твердого тела, в общем случае можно заменить силой и парой сил. Сила приложена в центре приведения и равна главному вектору сил инерции, момент пары равен главному моменту сил инерции относительно центра приведения. Если центр приведения – центр масс механической системы, то

, ,

где – кинетический момент механической системы относительно центра масс.

При поступательном движении твердого тела система сил инерции приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр масс и определяется равенством

.

При вращении тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно этой плоскости, система сил приводится к паре сил, лежащей в плоскости материальной симметрии тела. Вектор момента этой пары определяется равенством

,

где – момент инерции, относительно оси, проходящей через центр масс.

Алгебраический момент пары сил инерции может быть вычислен по формулам:

.

При плоском движении твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, система сил инерции приводится к силе и к паре сил, лежащей в плоскости материальной симметрии

, ,

где − момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости материальной симметрии.

Аналогично рассматривается приведение системы сил инерции при вращении тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг оси, не проходящей через центр масс. При этом за центр приведения может выбираться как центр масс, так и неподвижная точка на оси вращения. Если в качестве центра приведения принимается точка , лежащая на оси вращения в плоскости симметрии, то главный момент сил инерции равен

,

где  момент инерции тела относительно оси вращения .

При движении несвободного твердого тела реакции связей, действующие на это тело, складываются из статических и добавочных динамических составляющих

,

где − главный вектор статических реакций, − главный вектор динамических реакций.

Статические реакции определяются из уравнений статики, а динамические обусловлены движением тела и определяются только силами инерции.

Д инамические реакции подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси (рис. 3.37) с учетом принципа д’Аламбера можно определить из следующей системы уравнений

Пример 3.10. Математический маятник с длиной нити l и массой подвешенного груза m, отпущен из горизонтального положения без начальной скорости. Определить натяжение нити в зависимости от угла ее поворота.