2. Кинематика

2.1. Кинематика точки

Существуют три аналитических способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

При векторном способе радиус-вектор движущейся точки задается как функция времени . Векторы скорости и ускорения точки равны соответственно первой и второй производной по времени от радиуса-вектора:

, .

Связь между радиусом-вектором и декартовыми координатами точки выражается равенством: , где , , – орты осей координат.

При координатном способе закон движения точки в декартовой системе координат дается заданием трех функций: , , . Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также модули скорости и ускорения точки определяются по формулам:

, , ; ;

, , ; .

При естественном способе задается траектория точки и закон движения точки по траектории , где криволинейная координата отсчитывается вдоль дуги от некоторой фиксированной точки на траектории. Алгебраическое значение скорости определяется по формуле , а ускорение точки равно геометрической сумме касательного и нормального ускорений:

, , , ,

где – радиус кривизны траектории в данной точке.

Пример 2.1. Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям , (х, у – в метрах, t – в секундах). Найти:

– уравнение траектории;

– скорость и ускорение в начальный момент;

– высоту и дальность обстрела;

– радиус кривизны в начальной и в наивысшей точках траектории.

Решение

1. Получим уравнение траектории снаряда, исключая параметр t из уравнений движения

.

Т раектория снаряда – это участок параболы (рис. 2.1), имеющий ограничивающие точки: начальную с координатами х = 0, у = 0 и конечную, для которой х = L (дальность полета), у = 0.

2. Определим дальность полета снаряда, подставив у = 0 в уравнение траектории. Откуда найдем L = 24 км.

3. Скорость и ускорение снаряда найдем по проекциям на оси координат:

В начальный момент времени v₀ = 500 м/с, а = 10 м/с².

4. Для определения высоты полета снаряда найдем время t₁ полета до этой точки. В высшей точке проекция скорости на ось y равна нулю (рис. 2.1), , откуда t₁ = 40 с. Подставив t₁ в выражение для координаты у, получим значение высоты Н = 8 км.

5. Радиус кривизны ρ траектории

, где .

Откуда

км; км.

Пример 2.2. В кривошипно-ползунном механизме (рис. 2.2) кривошип 1 вращается с постоянной угловой скоростью  рад/с. Найти уравнения движения, траекторию и скорость средней точки М шатуна 2, если ОА = АВ = 80 см.

Решение

1. Запишем уравнения движения точки M в координатной форме

2. Уравнение траектории получим, исключив время t из уравнения движения:

Траектория точки М – эллипс с центром в начале координат и полуосями 120 см и 40 см.

3. Скорость точки определим по проекциям на оси координат

Откуда

2.2. Простейшие движения твердого тела

К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное и вращательное вокруг неподвижной оси.

Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, взятая в теле, остается параллельной своему начальному положению.

Теорема. При поступательном движении все точки твердого тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени равные скорости и ускорения.

Вращательным называется движение твердого тела, при котором все точки некоторой прямой, связанной с телом, остаются неподвижными во все время движения. Эта прямая называется осью вращения.

Положение тела определено, если задан закон изменения угла между неподвижной плоскостью и подвижной плоскостью, жестко связанной с телом, проходящими через ось вращения. Угол измеряется в радианах. Уравнение вращательного движения твердого тела записывается в виде

.

Угловая скорость характеризует быстроту изменения угла поворота с течением времени. Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости.

Если угловая скорость постоянна, то вращение называется равномерным и происходит по закону .

Если угловое ускорение постоянно, то вращение называется равнопеременным и происходит согласно уравнениям

, .

Модули скорости, ускорения, касательного и нормального ускорений точки вращающегося тела, находящейся на расстоянии от оси вращения, определяются по формулам:

, , , .

Пример 2.3. Маховое колесо радиусом начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя. Через 6 секунд после начала движения оно имеет угловую скорость равную рад/с. Определить угловое ускорение колеса, скорость и ускорение точки на ободе колеса, а также число оборотов колеса за это время.