3. Динамика
3.1. Динамика материальной точки
Основное уравнение динамики материальной точки, описывающее ее движение в инерциальной системе отсчета, имеет вид
.
Математической
моделью движения материальной точки
является следующая система дифференциальных
уравнений:
где
– проекции равнодействующей сил,
действующих на материальную точку.
Общее решение этих уравнений записывается в виде:
,
,
.
Постоянные интегрирования могут быть найдены из начальных условий, которые определяют положение и скорость материальной точки в начальный момент движения:
, 
,
, 
,
, 
.
Если рассматривается движение точки по известной траектории, то основное уравнение динамики удобно записать в проекциях на естественные оси: касательную, главную нормаль и бинормаль. В этом случае:
при начальных условиях
,
.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в неинерциальной системе отсчета (уравнения относительного движения) имеют вид:
В
эти уравнения помимо проекций действующих
на точку сил, входят проекции переносной
силы инерции (
)
и кориолисовой силы инерции (
).
Пример
3.1. Движение точки массой m = 5 кг
задано уравнением
м.
Определить равнодействующую сил,
действующих на точку.
Решение
Для определения равнодействующей сил воспользуемся основным уравнением динамики:
.
Откуда
,
.
Равнодействующая равна по модулю 50 H, лежит в плоскости Oxz и имеет направляющие косинусы
; 
.
Пример 3.2. При свободном вертикальном падении материальной точки определить перепад высот, на котором ее скорость изменилась с 10 до 25 м/с. Найти также время движения точки на этом участке.
Решение
1. Введем в рассмотрение ось Оx, направленную вниз, с началом в том положении точки, когда ее скорость равна 10 м/с.
2. Воспользуемся дифференциальным уравнением прямолинейного движения материальной точки
с начальными условиями
,
м/с.
3. Для определения перепада высот используем следующую формулу понижения порядка дифференциального уравнения
,
тогда
.
Разделяя переменные и интегрируя
,
находим перепад высот
.
4. Для определения затраченного на это перемещение времени воспользуемся другой формулой понижения порядка дифференциального уравнения
.
Тогда
.
Разделяя переменные и интегрируя
,
находим затраченное время
.
3.2. Прямолинейные колебания материальной точки
Математической
моделью прямолинейных колебаний
материальной точки вдоль оси
около неподвижного центра
под действием линейной восстанавливающей
силы
,
линейной силы сопротивления
и периодически изменяющейся возмущающей
силы
является следующее дифференциальное
уравнение
,
где
,
,
.
В
случае свободных колебаний в среде без
сопротивления (
,
)
общее решение дифференциального
уравнения имеет вид
или
,
здесь
– постоянные интегрирования, которые
определяются из начальных условий. При
этом
,
.
В
случае свободных колебаний в среде с
сопротивлением (
,
)
общее решение дифференциального
уравнения имеет вид
или
.
При
движение материальной точки –
апериодическое и описывается следующими
законами:
,
;
,
.
В
случае вынужденных колебаний без
сопротивления (
)
в отсутствие резонанса (
)
общее решение дифференциального
уравнения записывается в виде
.
При
возникает резонанс и общее решение
имеет вид
.
В случае вынужденных колебаний в среде с сопротивлением общее решение дифференциального уравнения прямолинейных колебаний имеет вид
или
.
Амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний не зависят от начальных условий и определяются выражениями:
,
.
Пример 3.3. Груз массой m = 2 кг падает без начальной скорости с высоты h = 40 см на невесомую горизонтальную плиту, которая установлена на двух параллельных пружинах одинаковой жесткости c = 9,8 Н/см. Определить закон движения груза, если после соприкосновения с плитой он движется вместе с ней. Начало отсчета координатной оси совместить с положением равновесия груза на плите, а саму ось направить вертикально вниз.