Решение

1 . В качестве обобщенной координаты, определяющей положение стержня, выбираем угол поворота , отсчитываемый от горизонтального положения равновесия по ходу часовой стрелки (рис. 4.24).

2. Запишем кинетическую энергию стержня в его вращательном движении

.

Откуда с учетом общего представления кинетической энергии в случае малых колебаний обобщенный коэффициент инерции равен

.

3. Находим потенциальную энергию для данной консервативной системы, полагая, что при горизонтальном положении стержня потенциальная энергия равна нулю. Потенциальная энергия системы определяется как сумма работ силы тяжести стержня и силы упругости пружины на перемещении из отклоненного ( ) положения в положение равновесия ( ) (рис. 4.24).

.

В случае малых колебаний , . Тогда

или .

Записывая условие равновесия

или ,

получаем

.

С учетом общего представления потенциальной энергии в случае малых колебаний обобщенный коэффициент жесткости равен

.

С учетом найденных обобщенных коэффициентов жесткости и инерции получим

, .

Пример 4.7. Механическая система состоит из груза 1 массой m₁ = 3 кг, блока 2 массой m₂ = 1 кг и катка 3 массой m₃ = 4 кг радиусом r₃ = 50 см, связанных нерастяжимой нитью (рис. 4.25 а). Каток, удерживаемый горизонтальной пружиной 4, катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Определить циклическую частоту и период малых колебаний системы, если коэффициент жесткости пружины 4 равен 12 Н/см. Найти уравнение движения груза при следующих начальных условиях: = 0,1 см, = 0,5 см/с. За начало отсчета координаты у принять положение равновесия груза. Ось направить вертикально вниз. Блок считать однородным диском, а радиус инерции катка принять ρ₃ = 40 см.

а	б
Рис. 4.25

Рис. 23.5

Решение

1. Механическая система с идеальными связями, состоящая из груза 1, блока 2, катка 3 и невесомой нерастяжимой нити, находится под действием потенциальных сил – сил тяжести и силы упругости пружины. В качестве обобщенной координаты выберем вертикальное смещение груза вниз от положения равновесия ( ) и изобразим систему в произвольный момент времени (рис. 4.25 б).

2. Составим выражение для кинетической энергии системы, равное сумме кинетических энергий всех тел, совершающих поступательное, вращательное и плоское движение соответственно

С учетом кинематических соотношений , , и выражений для осевых моментов инерции , , имеем

.

Откуда с учетом общего представления кинетической энергии в случае малых колебаний находим обобщенный коэффициент инерции

.

3. Найдем потенциальную энергию системы как сумму работ сил тяжести всех тел и силы упругости пружины при перемещении системы из произвольного положения (рис. 4.25 б), где деформация пружины равна λ, в положение равновесия:

.

С учетом малости перемещений точек системы, деформацию пружины в произвольном положении системы можно представить в виде

.

Тогда

Записывая условие равновесия

или ,

получаем

.

С учетом общего представления потенциальной энергии в случае малых колебаний находим обобщенный коэффициент жесткости

.

4. Запишем дифференциальное уравнение движения механической системы:

,

где

рад/с – циклическая частота колебаний.

Период колебаний определяем равенством

T = = 0,548 с.

5. Общее решение дифференциального уравнения движения механической системы имеет вид

.

Определим постоянные интегрирования и по заданным начальным условиям

 см, см.

Уравнение движения груза при заданных начальных условиях имеет вид

см

или в амплитудной форме

см.