17. Принцип максимума модуля аналитической функции.

Лемма. Если в некоторой области : 1) постоянна действительная часть аналитической функции или 2) постоянен ее модуль, то и сама функция постоянна.

Доказательство. При условии 1) имеем , тогда из уравнений Коши-Римана , т. е. .

Пусть теперь , где – const. Для утверждение леммы очевидно. Если , то рассмотрим функцию , которая в этом случае аналитична. Ее действительная часть постоянна ( ), следовательно, по уже доказанному, постоянна сама функция , а значит, и . Лемма доказана.

Докажем теперь принцип максимума модуля для аналитических функций.

Терема. Если функция , не равная тождественно постоянной, аналитична в области и непрерывна в , то ее модуль не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области .

Доказательство. Предположим от противного, что достигает значения внутри , и обозначим через множество всех точек , для которых . Если , то всюду в , т. е. постоянен. Согласно лемме будет постоянна в и , что противоречит условиям теоремы.

Если не совпадает с , то существует граничная точка этого множества, которая является внутренней точкой . В силу непрерывности имеем , ибо в любой окрестности есть точки . Построим окружность , принадлежащую области , так чтобы на ней имелась хотя бы одна точка , не принадлежащая множеству . Тогда , и для любого достаточно малого , в силу непрерывности , всегда можно указать такую содержащую точку часть окружности , на которой

. (7)

Обозначим через оставшуюся часть окружности, на которой, очевидно,

. (8)

По теореме о среднем имеем

, (9)

где – элемент длины окружности .

Переходя в соотношении (9)к абсолютным величинам и учитывая неравенства (7) и (8), получим

,

где соответственно и – длины и ( ). Но последнее неравенство невозможно, чем и доказывается принцип максимума.

18. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра. Производная -го порядка аналитической функции. Теоремы Морера и Лиувилля.

Подынтегральная функция в интеграле Коши зависит от двух комплексных переменных: переменной интегрирования и фиксированного значения переменной . Тем самым интеграл Коши является интегралом, зависящим от параметра .

Рассмотрим свойства интегралов по комплексной переменной, зависящих от параметра.

Пусть задана функция , однозначно определенная для значений комплексной переменной из области и для значений комплексной переменной , принадлежащих некоторой кусочно-гладкой кривой . Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

а) Функция при любом значении является аналитической функцией в области .

б) Функция и ее производная являются непрерывными функциями по переменным при произвольном изменении в области и на кривой .

При сделанных предположениях интеграл от функции существует при любом и является функцией комплексной переменной :

. (10)

При сделанных предположениях относительно функция является аналитической функцией , причем производную функции можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла.

Рассматривая как параметр в интегральной формуле Коши и используя свойства интегралов, зависящих от параметра, продифференцируем обе части формулы по параметру :

. (11)

Интеграл (11) опять является интегралом, зависящим от параметра, причем функция

является аналитической функцией от в области . Тогда

. (12)

Имеет место и более общая теорема.

Терема. Пусть функция является аналитической в области и непрерывна в замкнутой области . Тогда во внутренних точках области существует производная любого порядка функции , причем для нее имеет место формула

.

Рассмотрим следствия из этой теоремы.

Терема Морера. Пусть функция является непрерывной в односвязной области и интеграл от по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему , равен нулю. Тогда является аналитической функцией в области .

Доказательство. Ранее было доказано, что при условиях теоремы функция

,

где и – произвольные точки области , а интеграл берется по любому пути, соединяющими эти точки в области , является аналитической в этой области функцией, причем . Но, как только что было установлено, производная аналитической функции также является аналитической функцией, т. е. существует непрерывная производная функции , а именно , что и доказывает теорему.

Теорема Морера является обратной по отношению к теореме Коши. Ее легко обобщить на случай многосвязной области.

Терема Лиувилля. Пусть на всей комплексной плоскости функция является аналитической, а ее модуль равномерно ограничен. Тогда эта функция тождественно равна постоянной.

Доказательство. Запишем значение производной в произвольной точке по формуле (11):

,

причём интегрирование будем вести по окружности некоторого радиуса с центром в точке , т. е. . По условию теоремы существует такая константа , что независимо от . Поэтому

.

Так как радиус можно выбрать сколько угодно большим, а не зависит от , то . В силу произвольности выбора точки заключаем, что на всей комплексной плоскости. Отсюда следует, что .