12. Элементарные функции комплексного переменного. Тригонометрические и гиперболические функции и их отображения.

Из формулы Эйлера для действительного переменного имеем , , откуда

.

Эти формулы можно использовать для аналитического продолжения косинуса и синуса в комплексную плоскость имеем

. (22)

Рассмотрим отображение, осуществляемое функцией . Полагая

, (23)

получим:

. (24)

Отображение (24) есть суперпозиция рассмотренных ранее отображений. Найдем сначала условия его однолистности. Пусть область переходит при отображениях (23) по следовательно в , и . Первое и третье отображения однолистны всюду; для однолистности второго необходимо и достаточно, чтобы не содержала ни одной пары точек и , для которых , где .Для однолистности изображения (3) необходимо и достаточно, чтобы не содержала ни одной пары точек и , для которых (см. функцию Жуковского). Переходя с помощью формул (23) к плоскости , получим, что для однолистности отображения в области необходимо и достаточно, чтобы не содержала ни одной пары точек и , для которых, с одной стороны,

, (25)

и, с другой, , или

. (26)

Этим условиям удовлетворяет, например, полуполоса . Лучам соответствует семейство гипербол с фокусами , а отрезкам – семейство эллипсов с теми же фокусами. Вдвое более узкая полоса преобразуется в верхнюю полуплоскость.

В комплексной области не ограничен. Например, на лучах он принимает действительные значения, по модулю большие 1.

Отображение, реализуемое функцией , в силу соотношения отличается от рассмотренного выше только сдвигом.

Тангенс и котангенс для комплексных значений определяются формулами

(27)

и рационально выражаются через показательную функцию:

(28)

Эти функции голоморфны всюду в , за исключением тех точек, где знаменатели дробей в формулах (35) обращаются в нуль. В этих точках , т. е. ( , , ).

Тангенс и котангенс в комплексной плоскости остаются периодическими с действительным периодом , для них сохраняются обычные формулы дифференцирования и тригонометрические соотношения.

Отображения, осуществляемые функциями и представляют собой композицию уже известных отображений. Например, сводится к таким отображениям:

. (29)

Полосу эта функция однолистно и конформно отображает на внутренность единичного круга. Прямые преобразуются в дуги окружностей, проходящих через точки , а отрезки – в дуги окружностей, для которых эти точки симметричны.

Гиперболические функции:

, (30)

Справедливы соотношения

.

Обратные тригонометрические функции можно выразить через логарифмы. Получим такое выражение, например, для . По определению

,

откуда ; решая квадратной уравнение, находим . Знаки в формуле решения квадратного уравнения можно опустить, если понимать корень как двузначную функцию. Тогда

.

В силу соотношения изменение знака перед корнем сводится к изменению знака перед логарифмом, поэтому знак «-» в последней формуле можно не писать:

. (31)

Аналогичные формулы можно получить для других функций:

, (32)

, (33)

, (34)

. (35)

Все эти функции многозначны. Способы выделения их однозначных ветвей аналогичны рассмотренным выше. Все такие ветви будут аналитическими функциями.