30. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов. Интегралы вида .

Рассмотрим интегралы вида , где – рациональная функция своих аргументов.

Интегралы данного вида могут быть сведены к интегралам от аналитической функции комплексной переменной по замкнутому контуру с помощью замены переменной интегрирования ,

.

При изменении от 0 до комплексная переменная пробегает замкнутый контур – окружность в положительном направлении.

,

где подынтегральная функция является рациональной функцией переменной : , является аналитической функцией внутри круга всюду, за исключением конечного числа особых точек , являющихся полюсами . Поэтому в силу основной теоремы теории вычетов

.

Пример. Вычислить .

.

Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя . Это полюсы первого порядка. Так как , то лишь одна из этих точек лежит внутри круга . Это точка . Тогда .

С помощью вычетов могут быть вычислены некоторые несобственные интегралы.

31. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов. Интегралы вида .

Пусть функция может быть аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость так, что её продолжение удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.

Предположим, что бесконечно удаленная точка является нулем второго или более высокого порядка функции . Разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки в этом случае имеет вид

(1)

(случай не исключается). Предположим также, что функция является аналитической функцией на действительной оси, а в верхней полуплоскости функция имеет лишь конечное число особых точек . Тогда, все особые точки функции , лежащие в верхней полуплоскости, можно заключить внутрь расположенного в верхней полуплоскости полукруга достаточно большого радиуса с центром в начале координат. По основной теореме о вычетах

.

При увеличении интеграл в левой части равенства изменяться не будет, так как при этом никакие новые особые точки внутрь полукруга не попадут.

Учитывая (1), функцию можно записать в виде , где .

Для функции бесконечно удаленная точка является правильной, причем . Следовательно, функция ограничена в окрестности точки и, в частности на полуокружности : , где . Следовательно,

и .

Так как , получим

.

Пример. Вычислить . удовлетворяет указанным условиям. Её особые точки в верхней полуплоскости – полюсы первого порядка.

.

32. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов. Интегралы вида . Лемма Жордана.

Интегралы такого вида встречаются в операционном исчислении.

Вычисление такого вида интегралов с помощью теории вычетов основано на применении леммы Жордана.

Лемма Жордана. Пусть – дуга окружности радиуса с центром в некоторой фиксированной точке , лежащая в верхней полуплоскости, а функция имеет вид , причем .

Если функция является аналитической функцией на действительной оси, а в верхней полуплоскости функция имеет конечное число изолированных особых точек и , то

. (2)

Замечание. Если , а функция удовлетворяет условиям леммы Жордана в нижней полуплоскости , то формула (1) имеет место при интегрировании по дуге полуокружности в нижней полуплоскости .

Аналогичные утверждения имеют место и при при интегрировании соответственно в правой или левой полуплоскости .

По основной теореме теории вычетов

.

По лемме Жордана предел второго слагаемого в левой части равенства при равен 0. При . Поэтому, переходя к пределу при , получим

.

Пример. Вычислить .

Рассмотрим функцию , где и . Особые точки функции полюсы первого порядка и .

В верхней полуплоскости имеется единственная особая точка .

.

.

Сравнивая в обеих частях равенства действительные и мнимые части, получим

.

Замечание 1. Если функция является четной функцией, то при

.

Замечание 2. Если функция является нечетной функцией, то при

.

33. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов для многозначных функций. Интегралы вида .

34. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов для многозначных функций. Интегралы вида .

35. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов для многозначных функций. Интегралы вида .

36. Понятие логарифмического вычета и его вычисление.

37. Подсчет числа нулей аналитической функции. Теорема Руше. Основная теорема высшей алгебры.

Подсчет числа нулей аналитической функции

Особыми точками функции будут нули и полюсы функции . Найдем значение вычета функции в особой точке , которая является нулем порядка функции . В этом случае функцию можно представить в виде

,

то есть является правильной точкой .

.

Отсюда следует, что является полюсом первого порядка функции и вычет функции в этой точке равен .

Таким образом, в нуле порядка функции её логарифмический вычет равен порядку нуля :

.

Пусть является полюсом порядка функции .

Тогда функция имеет вид

,

то есть является правильной точкой .

Тогда

.

Отсюда следует, что точка является полюсом первого порядка функции и вычет в этой точке равен .

Таким образом, в полюсе порядка функция имеет логарифмический вычет .

Теорема Руше. Основная теорема высшей алгебры

Принцип аргумента может быть использован при нахождении полного числа нулей аналитической функции в заданной области. При этом во многих случаях вычисления можно значительно облегчить благодаря следующей теореме.

Теорема Руше. Пусть функции и являются аналитическими в замкнутой области , причем на границе области выполняется неравенство

.

Тогда полное число нулей в области функции равно полному числу нулей функции (без доказательства).

Пример. Найти полное число нулей функции внутри единичного круга .

Представим функцию в виде , положив и . Тогда

.

Следовательно, полное число нулей в области функции равно полному числу нулей функции . Но функция имеет ровно 5 нулей: .

Важным следствием теоремы Руше является основная теорема высшей алгебры.

Теорема. Полином -ой степени имеет на комплексной плоскости ровно нулей (с учетом их кратности).