43. Определение оригинала по изображению. Формула Меллина. Изображение произведения двух оригиналов.

Рассмотрим методы определения оригинала по заданному изображению. В общем случае для произвольно заданной аналитической функции решение данной задачи представляет значительные трудности. Ограничимся некоторыми частными случаями, играющими, однако, очень важную роль в приложениях. Будем предполагать, что – функция, аналитическая во всей комплексной плоскости , за исключением конечного числа особых точек, и удовлетворяющая условию . При этом предполагается, что в бесконечно удалённой точке – аналитическая. Это необходимое условие того, что функция является изображением.

1. Имеются таблицы изображений, наиболее часто встречающихся в приложениях функций. Достаточно подробные таблицы приведены в [6], [7].

При решении конкретных задач по справочнику можно найти выражение оригинала для полученного изображения.

2. Рассмотренные свойства преобразования Лапласа также во многих случаях позволяют решить обратную задачу: нахождение оригинала по заданному изображению. В первую очередь можно выделить теорему смещения, теоремы о интегрировании и дифференцировании изображений, теорему умножения изображений.

Пример. . Найдём оригинал .

Изображение представляет собой произведение двух изображений и . По теореме умножения изображений получим

.

3. Если правильная рациональная дробь, то её разлагают на сумму простейших дробей и находят оригиналы для каждой дроби, используя таблицу изображений и свойства преобразования Лапласа.

Пример. . Найдём оригинал .

.

.

Используя теоремы линейности и смещения, получим

.

Перечисленные методы, по существу, являются методами подбора.

Формула Меллина

Если функция является оригиналом, а – её изображением, то в точках непрерывности функции имеет место формула

, (1)

где интегрирование производится по любой бесконечной прямой , лежащей в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла Лапласа, то есть прямая выбирается таким образом, чтобы все особые точки функции лежали левее этой прямой.

Формула (1) называется формулой Меллина. Она является в определённом смысле обратной преобразованию Лапласа, так как выражает оригинал через заданное изображение. Используя лемму Жордана, можно показать, что во многих практически важных случаях интеграл в правой части равенства (1) может быть вычислен с помощью рассмотренных методов вычисления контурных интегралов от функции комплексной переменной. Тогда

.

Применим формулу (1) к наиболее важному частному случаю, когда - рациональная функция , где и многочлены, причём степень многочлена меньше степени многочлена . При этом условии . Функция имеет только конечное число особых точек. Эти точки являются нулями знаменателя и, следовательно, полюсами функции . Применяя формулу для вычисления вычета в полюсе любого порядка, получим

, (2)

где – полюсы порядка и сумма берётся по всем полюсам .

Формула (2) называется формулой разложения или второй теоремой разложения.

В частном случае, когда все полюсы простые, формула упрощается

. (3)

Пример 1. . Найдём оригинал .

имеет простые полюсы . Для нахождения оригинала воспользуемся формулой (3). Предварительно найдём . Тогда

.

Пример 2. . Найдём оригинал .

имеет два полюса: полюс третьего порядка и полюс второго порядка.

.

Вычислим отдельно и . Окончательно получим

.

Пусть имеет комплексные полюсы. Для простоты записи рассмотрим случай, когда полюсы простые. На практике чаще всего приходится иметь дело с функциями , у которых все коэффициенты многочленов и действительные числа. Тогда, комплексные корни многочлена , если они есть, будут сопряжёнными, то есть и . Поскольку все коэффициенты многочленов действительны, то комплексные величины и , и , и также будут сопряжёнными. Следовательно, слагаемые в формуле (3), соответствующие комплексным сопряжённым корням и будут сопряжёнными и их сумма будет равна удвоенной действительной части любого из слагаемых

.

Разбивая сумму в правой части формулы (3) на две, получим при условии, что все корни простые

, ( )

где первая сумма распространяется на все действительные простые корни , а вторая на все комплексные корни .

Слагаемые второй суммы следует записать иначе. Если , то . Обозначим . Тогда

и .

Пример. . Найдём оригинал .

имеет сопряжённые полюсы и третьего порядка.

.

.

.