38. Определение преобразования Лапласа. Область сходимости. Преобразование Хевисайда.

Под операционным исчислением понимают методы решения задач, основанные на следующих этапах:

1. от искомых функций переходят к некоторым другим функциям – их изображениям;

2. над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями (отсюда и название);

3. произведя действия над изображениями, возвращаются к самим функциям.

Переход от функций к их изображениям основывается на интегральном преобразовании.

Пусть функция задана на интервале , который может совпадать со всей осью , или полуосью .

Определение. Интегральным преобразованием функции называется функция , где – фиксированная для данного преобразования функция, которая называется ядром преобразования.

Если ядро принимает комплексные значения, то будет комплексной функцией аргумента . Для существования интеграла на преобразуемую функцию должны быть наложены определённые условия, которые зависят от свойств ядра и от выбора интервала .

Рассматриваемое операционное исчисление основывается на интегральном преобразовании Лапласа.

Пусть функция действительная или комплексная функция действительного переменного , удовлетворяющая следующим условиям:

1. (или и ) кусочно-непрерывна (имеет конечное число точек разрыва первого рода) на любом конечном промежутке.

2. при .

3. Существуют такие числа и , что при всех .

Функция , удовлетворяющая перечисленным условиям, называется оригиналом.

Определение. Преобразованием Лапласа функции действительного переменного называется функция комплексного переменного , определяемая формулой

. (1)

Несобственный интеграл в правой части равенства (1), зависящий от комплексного параметра , называется интегралом Лапласа.

Функция называется изображением (изображением по Лапласу).

Замечание. При решении некоторых задач используется двустороннее преобразование Лапласа .

Соответствие между оригиналом и изображением записывается в виде или , а также , , .

Интеграл Лапласа (1) сходится абсолютно для всех значений комплексной переменной , удовлетворяющих условию (то есть в полуплоскости , где – показатель степени роста функции из условия 3)).

.

Тогда

. (2)

Можно показать, используя свойства интегралов зависящих от параметра и признак равномерной сходимости Вейерштрасса, что изображение Лапласа функции является аналитической функцией комплексной переменной в области . Это означает, что производные функции можно вычислять, дифференцируя подынтегральную функцию в (1) по параметру .

Замечание. Из (2) следует, что если точка стремится к бесконечности так, что неограниченно возрастает, то стремится к нулю . Если, в частности, – функция, аналитическая в бесконечно удалённой точке, дополнительное условие не играет роли, и при стремлении к бесконечности по любому закону, то есть изображение обязательно имеет в бесконечно удалённой точке нуль.