28. Определение и формулы вычисления вычета аналитической функции в изолированной особой точке.

Если правильная или изолированная особая точка однозначной функции , то в окрестности этой точки функция может быть разложена в ряд Лорана

где .

Определение. Вычетом функции в точке называется комплексное число равное значению интеграла , где – контур (окружность), однократно обходящий точку в положительном направлении.

Обозначается: Выч .

.

Принимая во внимание формулы для вычисления коэффициентов ряда Лорана , получим .

Если правильная точка функции , то все коэффициенты главной части разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки равны нулю. Следовательно, вычет функции в правильной точке равен нулю (что также следует из теоремы Коши).

Если – полюс, или существенно особая точка функции , то вычет в точке может быть отличным от нуля или равным нулю.

29. Основная теорема теории вычетов. Вычет аналитической функции в бесконечно удаленной точке. Интегральная формула Коши в неограниченной области.

Теорема. Если функция является аналитической всюду в области и на контуре , ограничивающем область , за исключением изолированных особых точек , то

2. .

Доказательство. Выделим особые точки , построив окружности так, чтобы внутри каждой из них находилась только одна особая точка, и чтобы никакие две из этих окружностей не имели общих точек.

Тогда по теореме Коши для многосвязной области

.

Откуда , что и требовалось доказать.

Основная теорема о вычетах позволяет вычислять интегралы по замкнутым контурам.

Вычисление вычетов

Вычет функции в устранимой особой точке равен нулю, что следует из теоремы Коши. Вычет функции в существенно особой точке может быть вычислен как коэффициент в разложении этой функции в ряд Лорана в окрестности этой точки.

Вычисление вычетов в полюсах

1. Если точка является простым полюсом функции , то в окрестности этой точки она может быть представлена в виде

,

где – сумма правильной части ряда Лорана функции в окрестности точки .

.

Так как – непрерывная функция в точке и , то, переходя к пределу при , получим

. (1)

Примеры.

1. .

– простой полюс .

2. .

– простой полюс, так как эта точка простой ноль .

Иногда для вычисления вычета в простом полюсе удобно применить другую формулу.

Пусть , где и аналитические функции в точке и эта точка является нулем первого порядка , а .

По формуле (1)

.

.

Таким образом,

. (2)

Примеры.

1. .

2. .

.

.

3. .

.

Внутри два простых полюса и .

;

.

2. Если точка является полюсом порядка функции , то

,

где – аналитическая функция, так как является суммой правильной части ряда Лорана.

.

Продифференцировав обе части равенства раз, получим

.

Для функции точка является нулем порядка не ниже , следовательно, в этой точке все производные до порядка включительно равны нулю. Поэтому

. (3)

Пример.

.

Вычет функции в бесконечно удаленной точке

Определение. Вычетом функции в точке называется комплексное число, равное значению интеграла

,

где – окружность с центром в начале координат столь большого радиуса, что вне этой окружности нет особых точек функции , отличных от бесконечно удаленной особой точки. Направление интегрирования на окружности выбирается так, чтобы при обходе контура бесконечно удаленная точка оставалась слева, то есть направление обхода надо установить по часовой стрелке. Отсюда следует, что если является коэффициентом при в разложении функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, то

.

Замечание. Если бесконечно удаленная точка функции правильная, то вычет относительно неё не обязательно равен нулю. Например . Точка является правильной, если считать . Но , следовательно, .

Принимая во внимание основную теорему о вычетах и определение вычета относительно бесконечно удалённой точки можно сформулировать следующее утверждение: сумма вычетов относительно всех особых точек, включая и бесконечно удалённую точку, равна нулю:

.

Это позволяет в некоторых случаях упростить вычисление интегралов по замкнутым контурам. Если внутри контура содержится много особых точек функции и при этом вне контура функция имеет лишь несколько особых точек, включая , значения вычетов в которых определяются достаточно просто, то тогда удобнее вместо прямого вычисления интеграла найти сумму вычетов в особых точках вне контура и записать её со знаком минус.