19. Числовые ряды с комплексными числами. Абсолютная и условная сходимости. Признаки Даламбера и Коши.
Рассмотрим числовой ряд, членами которого являются комплексные числа
, (1)
где
.
Сумма членов этого ряда есть комплексное число
.
Она называется частичной суммой ряда.
Определение.
Если существует предел последовательности
частичных сумм
при
,
то ряд (1) называется сходящимся.
.
Комплексное
число
называется суммой ряда. Каждому ряду с
комплексными членами можно сопоставить
два ряда с действительными членами
и
,
составленные соответственно из
действительных и мнимых частей слагаемых
исходного ряда. Отсюда вытекает, что
ряд (1) сходится, если сходятся оба ряда
и
.
Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то ряд называется расходящимся.
Очевидно, что, если хотя бы один из рядов или является расходящимся, то ряд (1) расходится.
Одной из важнейших задач в теории рядов с комплексными членами является исследование сходимости ряда.
Теорема. Если ряд, составленный из модулей членов ряда (1) сходится, то ряд (1) также сходится.
Доказательство. Ряд
(2)
сходится.
Его общий член
.
Следовательно, ряд (2) является числовым
рядом с неотрицательными членами. При
этом
,
.
Тогда на основании признака сравнения
числовых рядов ряды
и
сходятся, а следовательно, ряды
и
являются абсолютно сходящимися, то есть
и
.
Откуда следует, что ряд (1) сходится.
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2). Доказанную теорему можно рассматривать, как признак абсолютной сходимости числового ряда с комплексными членами.
Если ряд (1) сходится, а ряд (2) является расходящимся, то ряд (1) называется условно сходящимся.
Для исследования сходимости рядов с комплексными членами можно применять признаки сходимости числовых рядов с действительными члена-ми.
Исследуем сходимость следующих рядов.
Пример
1.
.
Рассмотрим ряд, составленный из модулей
членов данного ряда
.
Для исследования сходимости этого ряда
применим признак Даламбера
,
следовательно, заданный ряд сходится абсолютно.
Пример
2.
.
Ряд из модулей членов этого ряда является
гармоническим рядом
,
а следовательно расходящимся. Для
проверки на условную сходимость заданного
ряда составим ряды из действительных
и мнимых частей. Так как
,
то
, 
.
Оба ряда сходятся по признаку Лейбница, причём условно, а значит, заданный ряд сходится условно.
20. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Критерий Коши.
21. Степенные ряды. Теорема Абеля. Формула Коши-Адамара.
22. Ряд Тейлора. Представление аналитической функции рядом Тейлора. Тейлоровские разложения элементарных функций.
,
(1)
где
– комплексное число, является круг с
центром в точке
.
Степенной ряд (1), коэффициенты которого определяются по формулам
,
где
– любая окружность (любой замкнутый
контур) с центром в точке
,
лежащая внутри круга сходимости
называется рядом Тейлора.
Используя интегральную формулу Коши и её следствие, можно получить другие формулы для определения коэффициентов ряда.
.
Тогда разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки примет вид
При
действительных
ряд совпадает с рядом Тейлора для функций
действительного переменного. Используя
формулу Тейлора, можно получить разложения
функций
,
которые были использованы для определения
этих функций, а также разложения и других
элементарных функций.
Всякая однозначная элементарная функция является аналитической во всех точках, в которых она определена. Однако ряд Тейлора может сходиться и в некоторых точках, в которых функция не определена. В этом случае принято считать значение функции в такой точке равным сумме её ряда Тейлора в этой точке.
Пример.
Это
равенство справедливо при любом
.
Однако ряд в правой части равенства
сходится и при
,
причем его сумма равна 1. Поэтому принято
считать, что
при
.
Отсюда
следует, что радиус сходимости ряда
Тейлора для всякой однозначной
элементарной функции
равен расстоянию
от точки
,
являющейся центром круга сходимости,
до ближайшей особой точки этой функции.
При разложении функции в ряд Тейлора в качестве точки можно взять любую точку, в которой функция является аналитической.
Если
,
то есть ряд Тейлора имеет вид
,
так
как
,
то точка
называется нулем функции
.
Если
в разложении функции
в ряд Тейлора в окрестности точки
,
а
, то есть разложение имеет вид
,
то
точка
называется нулем
порядка
или кратности
.
Если
,
то ноль называется простым.
Из
формул для коэффициентов ряда Тейлора
следует, что если точка
является нулём порядка
функции
,
то
,
но
.
В этом случае разложение функции можно записать в виде
,
где
.
Замечание.
Если
,
то
является
нулём
,
если
.
Порядок нуля будет равен
.
Пример.
.
и
– нули третьего порядка
.