14. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.

В общем случае зависит как от подынтегральной функции , так и от кривой . Установим условия, при которых интеграл не зависит от пути интегрирования, а определяется только положениями концов . Имеет место следующая основная в интегральном исчислении теорема.

Теорема 1 (теорема Коши). Если функция аналитична в односвязной области , то для всех кривых , лежащих в этой области и имеющих общие концы, интеграл имеет одно и то же значение.

Доказательство. В силу соотношения (2) вопрос о независимости интеграла от пути интегрирования сводится к вопросу о независимости от пути криволинейных интегралов

. (12)

Из действительного анализа известно, что в односвязной области для независимости криволинейного интеграла , где и – функции, обладающие непрерывными частными производными, необходимо и достаточно, чтобы выражение было полным дифференциалом, т. е. в каждой точке области имело место соотношение . Для интегралов (12) имеем

. (13)

Уравнения (13) совпадают с условиями Коши-Римана и удовлетворяются, так как аналитическая функция. Теорема доказана.

Эту теорему можно сформулировать в другой форме.

Теорема 2. Если функция аналитична в односвязной области , то ее интеграл вдоль любого замкнутого контура , лежащего в , равен нулю:

. (14)

Действительно, используя для интеграла свойства аддитивности и ориентированности, получим

,

то есть равенство нулю интеграла вдоль равносильно равенству между собой интегралов вдоль и , составляющих вместе контур .

Сформулированные теоремы справедливы для любого замкнутого контура, целиком лежащего в односвязной области ее аналитичности. При дополнительном условии непрерывности функции в замкнутой области данное утверждение справедливо и для замкнутого контура, являющегося границей области аналитичности. Последнее утверждение фактически является несколько видоизмененной формулировкой теоремы Коши, но ввиду его важности для практических приложений выделим это утверждение в отдельную теорему.

Теорема 3. Если функция аналитична в односвязной области и непрерывна в замкнутой области , то интеграл от функции по границе области равен нулю.

Обобщим теорему Коши на случай многосвязной области. В этом случае полная граница области состоит из нескольких замкнутых контуров: внешнего и внутренних . Положительным направлением обхода полной границы многосвязной области будем называть такое направление движения, при котором область все время остается слева. При этом внешний контур обходится в положительном, а внутренние – в отрицательном направлении.

Теорема 4. Пусть является аналитической функцией в многосвязной области , ограниченной извне контуром , а изнутри контурами и пусть непрерывна в замкнутой области . Тогда , где – полная граница области , состоящая из контуров , причем обход границы происходит в положительном направлении.

Доказательство. Проведем гладкие кривые , соединяющие контур с контурами . В результате получим односвязную область. По теореме Коши интеграл по границе этой области равен нулю. Интегралы по вспомогательным кривым проходятся дважды в противоположных направлениях и в сумме равны нулю. Поэтому