27. Классификация изолированных особых точек аналитической функции. Существенно особая точка. Теорема Сохоцкого. Поведение аналитической функции в окрестности бесконечно удаленной точки.

Определение. Особая точка функции называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки функция аналитическая (кроме самой точки) и не имеет других особых точек.

Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. При этом возможны три случая:

7. Ряд Лорана не содержит членов с отрицательными степенями разности .

8. Содержит конечное число членов с отрицательными степенями разности .

9. Содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями разности .

В зависимости от этих случаев производится классификация изолированных особых точек.

5. Ряд Лорана имеет вид: , , то есть главная часть ряда в разложении отсутствует.

Это разложение имеет место во всех точках некоторой окрестности точки . Правая часть равенства – степенной ряд является аналитической функцией при .

Поэтому, если под понимать сумму ряда при , то есть положить , то точка будет правильной точкой и разложение будет разложением функции в ряд Тейлора. Точка называется устранимой особой точкой. .

Пример. . .

2. Ряд Лорана содержит конечное число членов с отрицательными степенями разности .

.

Точка в этом случае называется полюсом порядка функции . Если , полюс называется простым. Функцию можно представить в виде

,

где – аналитическая функция, .

В этом случае .

Если точка полюс порядка функции , то ,

где – аналитическая функция, и является нулем порядка функции .

Примеры.

1) ; – полюс третьего порядка.

2) – полюса первого порядка (простые).

3. – полюс второго порядка. .

6. Если ряд Лорана в окрестности особой точки содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями , то точка называется существенно особой точкой.

В этом случае не существует (ни конечный, и бесконечный).

Поведение функции в окрестности существенно особой точки описывается теоремой:

Теорема Сохоцкого: Если точка является существенно особой точкой функции , то для любого заданного комплексного числа найдется последовательность точек, сходящаяся к точке , вдоль которой значения функции стремятся к . Теорема верна также и для .

Пример 1. – особая изолированная точка. Используя разложение , получим сходящийся ряд Лорана в окрестности

. Ряд содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями , следовательно, существенно особая точка.

В окрестности при

– не существует.

Пример 2. . Особые точки функции : . Последовательность , следовательно, точка не является изолированной и не подлежит классификации. Точки являются простыми полюсами. Пример показывает, что при исследовании конкретной точки необходимо найти все другие особые точки.

Классификацию изолированных особых точек можно распространить и на случай, когда изолированной особой точкой является бесконечно удаленная точка.

Определение. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости является изолированной точкой функции , если можно указать такое значение , что вне круга функция не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки .

Так как функция является аналитической в круговом кольце , то её можно разложить в ряд Лорана. Запишем члены разложения в следующем порядке:

. (1)

Назовём ряд правильной частью, а ряд – главной частью разложения . Такая терминология вполне обоснована, если учесть, что при замене окрестность бесконечно удаленной точки отображается на окрестность точки и разложение (1) превращается в разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки :

.

Также, как и для конечной изолированной особой точки , возможны 3 случая:

1. Точка называется устранимой особой точкой функции , если разложение (1) не содержит членов с положительными степенями , то есть

;

или, если при , существует конечное предельное значение функции , не зависящее от способа предельного перехода.

Если , то бесконечно удаленная точка является нулём порядка функции .

2. Точка называется полюсом порядка функции , если разложение (1) содержит конечное число членов с положительными степенями , то есть .

В этом случае независимо от способа предельного перехода.

3. Точка называется существенно особой точкой функции , если разложение (1) содержит бесконечное число членов с положительными степенями , то есть .

В этом случае в зависимости от выбора последовательности можно получить последовательность значений , сходящуюся к любому наперед заданному числу, то есть поведение функции в окрестности точки определяется теоремой Сохоцкого.