7. Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения.

Если функция дифференцируема в смысле в точке , то в окрестности этой точки отображение можно приблизить с точностью до малых высшего порядка относительно аффинным отображением

(17)

Сложим первое уравнение со вторым, умноженным на , и положим Тогда (17) можно записать в комплексной форме

. (18)

Это отображение называется касательным к отображению в точке .

Якобиан отображения в рассматриваемой точке выражается через комплексные производные:

. (19)

Если , то касательное отображение (18) не вырождено. Это отображение преобразует параллельные прямые в параллельные, но, вообще говоря, не сохраняет углы, так что квадраты переходят в параллелограммы, окружности – в эллипсы.

Пусть теперь функция в точке дифференцируема в смысле . Тогда в этой точке , существует производная и касательное отображение (18) примет вид

. (20)

Если , то это отображение сводится к растяжению вектора в раз и повороту его на угол . Оно сохраняет ориентацию и обладает свойством сохранения углов.

Отображение называется конформным в точке , если оно дифференцируемо в смысле и касательное к отображение в этой точке сохраняет ориентацию и обладает свойством сохранения углов.

Таким образом, комплексная дифференцируемость функции в точке вместе с условием геометрически означает конформность отображения в этой точке.

Геометрически означает коэффициент растяжения длин в точке при отображении . Этот коэффициент не зависит от выбора кривой с началом в точке . Другими словами все кривые с началом в точке растягиваются в этой точке одинаково, то есть бесконечно малая окружность с центром в переходит в кривую, отличающуюся от окружности с центром в на малые высших порядков (круговое свойство).

Геометрически означает угол поворота кривой в точке при отображении . Этот угол не зависит от выбора кривой с началом в точке , все кривые с началом в точке поворачиваются на одинаковый угол, то есть угол между двумя любыми кривыми с началом в сохраняется при отображении (свойство сохранения углов).

8. Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-линейные функции и их отображения.

Дробно-линейные функции определяются соотношением

(1)

где – комплексные числа, – комплексная переменная.

При и функция (21) обращается в линейную функцию:

. (2)

Очевидно, что отображение (2) будет конформным и однолистным во всей комплексной плоскости . Рассмотрим сначала три частных случая.

а) . При таком отображении точка переносится в точку в направлении вектора на расстояние, равное его длине. Полагая , , , запишем преобразование (2) в виде двух формул: . Последние представляют собой известные формулы параллельного переноса осей координат.

б) . Пусть . Тогда , , т. е. точка переходит в точку при помощи поворота вектора около нулевой точки на угол . Таким образом, отображение б) есть вращение около начала координат на угол . Кроме того можно написать: , откуда находим: . Последние равенства являются известными формулами поворота осей координат.

в) , где – действительное постоянное положительное число. В данном случае имеем: , , т. е. отображение в) есть преобразование подобия с центром подобия в начале координат и коэффициентом подобия .

Общее линейное преобразование путем трех простейших рассмотренных отображений.

При и из (1) получим функцию , которая осуществляет преобразование подобия и инверсию относительно окружности радиуса единица. Действительно, полагая , , получим .

Для общего отображения (1) справедливы следующие утверждения.

1°. Дробно-линейная функция (1) осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображение на .

2°. Дробно-линейное отображение (1) конформно во всех точках .

Приведем два геометрических свойства дробно-линейных отображений. Будем называть окружностью на любую окружность или прямую на комплексной плоскости.

3°. Произвольное дробно-линейное отображение преобразует любую окружность на тоже в окружность на (круговое свойство дробно-линейных отображений).

Для формулировки второго геометрического свойства введем определение. Точки и будем называть симметричными относительно окружности на , если они лежат на одном луче с вершиной в центре так, что произведение их расстояний до центра равно квадрату радиуса .

4°. Произвольное дробно-линейное отображение преобразует любые точки и , симметричные относительно окружности на , в точки и , симметричные относительно образа этой окружности (свойство сохранения симметричных точек).