9. Элементарные функции комплексного переменного. Функции и и их отображения.
Степенная функция
,
(3)
где
– натуральное число, голоморфна во всей
плоскости
.
Ее производная
всюду при
,
следовательно, отображение (3) конформно
в каждой точке
.
В полярных координатах
.
Тогда
,
(4)
то
есть отображение (3) увеличивает углы с
вершиной в точке
и поэтому при
не конформно в этой точке.
Из (4) следует, что две точки и , для которых
,
(5)
переходят в одну точку . Следовательно, при отображение (3) многолистно в .
Условию (5) удовлетворяют, например, секторы
,
(6)
каждый
из которых преобразуется в область
,
то есть в плоскость
с выброшенной положительной полуосью.
Функция
,
(7)
обратная к функции , -значна при .
В
любой области
,
которая не содержит ни одной замкнутой
кривой, обходящей точку
,
можно выделить
непрерывных
и однозначных функций, принимающих
каждая одно из значений
.
Эти
функций называются ветвями
многозначной функции
;
их значения в каждой фиксированной
точке отличаются друг от друга множителем
.
Каждая такая ветвь осуществляет
однолистное отображение области
,
поэтому существует производная обратной
функции:
.
(8)
Если же область содержит хотя бы одну замкнутую кривую, обходящую точку , то в такой области ветви функции нельзя отделить друг от друга. Точка , в любой окрестности которой нельзя отделить отдельных ветвей функции , называется точкой ветвления этой функции.
10. Элементарные функции комплексного переменного. Функция Жуковского и ее отображение.
Так называют рациональную функцию
,
(9)
голоморфную
в области
.
Ее производная
отлична
от нуля всюду в этой области, кроме точек
.
Точке
соответствует
,
и конформность в этой точке следует из
того, что производная
отлична
от нуля при
.
Конформность отображения
в точке
сводится к конформности отображения
в точке
.
В случае функции Жуковского
,
поэтому отображение (24) конформно в
точке
.
Таким образом, отображение (5) не конформно
только в точках
.
Установим условия однолистности функции (24) в какой-либо области . Пусть и она переводит в одну точку, тогда
,
и
при
получим условие однолистности функции
Жуковского в какой-либо области
:
.
Примером
области, удовлетворяющей условию
однолистности, является внешность
единичного круга
.
Чтобы наглядно представить отображение
(24), положим
,
где
.
(10)
Из
этих соотношений следует, что окружности
,
функция Жуковского преобразует в эллипсы
с полуосями
и
и фокусами в точках
,
т. к.
.
При
и эллипсы стягиваются к отрезку
;
при больших
разность
мала и эллипсы мало отличаются от
окружностей. Лучи
преобразуются в части гипербол
с теми же фокусами
.
Семейство гипербол ортогонально
семейству эллипсов.
Таким
образом, функция Жуковского осуществляет
взаимно однозначное и конформное
отображение внешности единичного круга
(включая бесконечную точку) на внешность
отрезка
действительной оси.
11. Элементарные функции комплексного переменного. Показательная и логарифмическая функции и их отображения.
Определим
функцию
соотношением, которым она определяется
в действительном анализе:
.
(11)
Докажем существование этого предела для любого . Для этого положим и заметим, что по правилам возведения в степень
,
.
Тогда существуют
,
а, значит, существует предел (11), который в тригонометрической форме имеет вид:
.
(12)
При
получим формулу
Эйлера
.
(13)
Основные свойства показательной функции.
1°.
Функция
голоморфна во всей плоскости
.
Полагая
,
из (12) находим, что
.
Функции
и
дифференцируемы в смысле
всюду в
и
выполняются условия Коши-Римана:
.
2°. Для функции сохраняется обычная формула дифференцирования. Так как производную можно вычислять в любом направлении, то
.
(14)
Отображение
конформно в каждой точке
,
т. к.
и
.
3°. Для функции сохраняется обычная теорема сложения:
.
(15)
Действительно,
.
4°.
Функция
периодическая
с основным периодом
.
Так как по формуле Эйлера
,
то по теореме сложения
.
Для однолистности отображения в какой-либо области необходимо и достаточно, чтобы эта область не содержала ни одной пары точек, связанных соотношением
.
Примером
области, удовлетворяющей этому условию,
является полоса
.
Полагая
и
,
получим
.
(16)
Это
отображение преобразует прямые
в лучи
,
а отрезки
– в окружности с выколотой точкой
.
Полоса
преобразуется в плоскость
с выброшенной положительной полуосью.
Соответственно полоса
преобразуется в верхнюю полуплоскость
.
Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной:
.
(17)
Из
определения следует основное свойство
логарифмов: если
и
,
то
.
(18)
Действительно,
имеем
,
;
следовательно,
.
В
частности, полагая в (18)
,
,
получим
.
(19)
В
формуле (19)
обозначает любое значение аргумента
;
поэтому есть бесконечнозначная функция:
ее действительная часть определяется
однозначно, а мнимая – с точностью до
слагаемого, кратного
.
Обозначим эту многозначную функцию
специальным символом:
.
(20)
Символом
будем обозначать одно из значений
.
Если область
не содержит замкнутых кривых, обходящих
точку
,
то можно выделить бесчисленное множество
непрерывных и однозначных ветвей
многозначной функции
,
значения которых в каждой фиксированной
точке отличаются друг от друга слагаемыми
.
Каждая такая ветвь
будет осуществлять взаимно однозначное
отображение области
и, следовательно, обладать производной
.
(21)
Таким образом, все такие ветви будут аналитическими функциями.
Если же область содержит хотя бы одну замкнутую кривую, охватывающую точку , то в такой области ветви нельзя отделить друг от друга. Точка называется точкой ветвления функции .