15. Неопределенный интеграл от функции комплексного переменного. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница.

Основываясь на теореме Коши, можно доказать ряд положений, аналогичных обычным положениям интегрального исчисления действительного анализа.

Теорема 5. Если функция аналитична в односвязной области , то интеграл с переменным верхним пределом

(16)

также является аналитической функцией в , причем .

Доказательство. По определению производной и свойствам аддитивности и ориентированности интеграла имеем:

. (17)

В силу непрерывности (следствие аналитичности) в точке можно написать:

, (18)

где при . Подставим (18) в (17):

. (19)

Для первого интеграла имеем:

.

Используя для второго интеграла оценку по модулю

,

получим для второго предела нуль. Теорема доказана.

Функция, производная которой равна заданной функции , называется первообразной этой функции. Доказанная теорема утверждает, что интеграл от , рассматриваемый как функция своего верхнего предела, является одной из первообразных функции .

Теорема 6. Любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Доказательство. Пусть и – первообразные и

.

При вычислении производной воспользуемся независимостью предела от способа приближения к нему. Предположим сначала, что точка по прямой, параллельной действительной оси, т. е. , где – действительная переменная. Тогда

.

Найдем тот же предел в предположении, что точка по прямой, параллельной мнимой оси, , где – действительная переменная. Тогда

.

Таким образом,

,

следовательно, и постоянны. Теорема доказана.

Так же, как и в случае функции действительного переменного, имеет место формула Ньютона-Лейбница

.

Действительно, интеграл, стоящий слева не зависит от пути интегрирования. Поэтому его можно представить в виде

,

где – произвольная точка области . Согласно (16) каждый из интегралов в правой части этой формулы представляет собой значение первообразной в соответствующих точках, а так как все первообразные отличаются на постоянную, то безразлично, какую первообразную мы подставим в данную формулу.

16. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем.

Теорема Коши позволяет получить представление аналитической функции во внутренних точках области при помощи интеграла по границе этой области.

Пусть является аналитической функцией в односвязной области , ограниченной контуром . Возьмем произвольную внутреннюю точку и построим целиком лежащую в области окружность радиуса с центром в точке . Рассмотрим вспомогательную функцию

, (1)

которая является аналитической всюду в , за исключением точки . По теореме Коши

.

Изменив во втором интеграле направление интегрирования, получим

. (2)

На окружности имеем . Тогда

. (3)

Последний интеграл преобразуем следующим образом:

.

Устремим к нулю. В силу непрерывности . Тогда из (3) получим интегральную формулу Коши

. (4)

Формула Коши выражает значение аналитической функции в некоторой точке через ее значения на любом контуре , лежащем в области аналитичности функции и содержащем точку внутри.

Пусть – окружность . Полагая , из формулы Коши получим

, (5)

или

, (6)

где – дифференциал длины окружности.

Формулы (5) и (6) выражают так называемую теорему о среднем для аналитических функций.

Терема. Если непрерывна в замкнутом круге и аналитична внутри этого круга, то ее значение в центре круга равно среднему арифметическому ее значений на окружности.