Тема 13. Элементы квантовой механики

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе микрочастиц, используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому необходимы некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, поэтому в любой момент времени фиксированы ее координата и импульс. В случае микрочастиц этого сказать нельзя, это следует из корпускулярно-волнового дуализма. То есть нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории и точных значениях ее координаты и импульса.

Таким образом, микрочастица не может иметь одновременно определенную координату (x, y, z) и определенную соответствующую проекцию импульса (p_x, p_{y ,} p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям

- соотношение неопределенностей Гейзенберга

Соотношение неопределенностей Гейзенберга – квантовое ограничение применимости классической механики к микрообъектам.

Из гипотезы де Бройля и соотношения неопределенностей вытекает, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого вытекали бы волновые свойства частиц. Следовательно, это уравнение должно быть волновым.

Это уравнение было сформулировано Шредингером и имеет вид

- уравнение Шредингера

где - постоянная Планка, m – масса частицы,

- оператор Лапласа, i – мнимая единица,

U (x, y ,z ,t ) - потенциальная энергия частицы,

- волновая функция частицы.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

где Е – полная энергия частицы, в случае стационарного поля постоянная.

Существуют две модели атома – Томсона и Резерфорда.

Модель Томсона: атом представляют как кекс, начиненный изюмом – электроны. Атом представляет непрерывно заряженный «+» зарядом шар радиусом 10^-10м, внутри которого около своих положений колеблются электроны. Суммарный «-» заряд электронов равен «+» заряду шара, поэтому атом в целом нейтрален.

В 1911 году Резерфорд предложил ядерную (планетарную) модель атома.

Вся масса атома сосредоточена в ядре, имеющего

е заряд Ze. Так как атомы нейтральны, то заряд

е е ядра равен суммарному заряду электронов, т.е.

е е вокруг ядра должно вращаться Z электронов.

е е Но существует два противоречия:

1) Электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиусом R.

II – закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности под действием кулоновской силы

В уравнении два неизвестных R и u, следовательно, существует бесчисленное множество значений R и соответствующих ему значений u. Поэтому величины R и u могут меняться непрерывно, т.е. испускается любая, а не вполне определенная порция энергии. Тогда спектры атомов должны быть сплошными. В действительности, опыт показывает, что атомы имеют линейчатый спектр.

2) Согласно электродинамике, ускоренно движущиеся электроны, должны излучать электромагнитные волны и вследствие этого терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и в конце концов упадут на него. Таким, образом, атом Резерфорда оказывается неустойчивой системой – что опять противоречит действительности.

Преодоление этих трудностей потребовало создания новой квантовой теории атома.

Исследования спектров излучения отдельных атомов показали, что каждому газу присущ определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных близко расположенных спектральных линий.

Самым изученным является спектр атома водорода.

Эмпирическая формула, описывающая все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра

n = 3,4,5… серия Бальмера

где R¢ = 1,1×10^-7 м^-1 – постоянная Ридберга

Так, как , то для частоты n = 3,4,5…

R = R¢× c = 3,29×10¹⁵ c^-1 – постоянная Ридберга.

Спектральные линии с различными n образуют группу или серию линий – серия Бальмера.

С увеличением n линии сближаются; n » ¥ - определяет границу серии, к которой со стороны больших частот примыкает сплошной спектр.

В спектре атома водорода было обнаружено еще несколько серий.

В ультрафиолетовой области спектра находится

n = 2,3,4 … серия Лаймана

В инфракрасной области были обнаружены

n = 4,5,6 … серия Пашена

n = 5,6,7 … серия Брэкета

n = 6,7,8 … серия Пфунда

n = 7,8,9 … серия Хэмфри

Все эти серии можно выразить одной формулой

- обобщенная формула Бальмера

m = 1,2, 3,… - определяет серию.

Первая попытка построить квантовую теорию атома в 1913 году предпринята датским физиком Н. Бором. В основу своей теории положил два постулата.

I постулат Бора - постулат стационарных состояний: в атоме существуют такие стационарные состояния, в котором он не излучает энергии. Стационарным состояниям соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.

II постулат Бора - правило частот: при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией

hn = E_n – E_m

равной разности энергии соответствующих стационарных состояний определяет линейчатый спектр атома

При E_m < E_n – излучение фотона - переход электрона с более удаленной от ядра орбиты на более близлежащую.

При E_m > E_n – поглощение фотона - переход электрона на более удаленную от ядра орбиту.