Тема 4. Физика колебаний и волн

Колебательные процессы – процессы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени.

Колебания называются свободными если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий.

Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которая называется вынуждающей.

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания, совершающиеся по закону синуса или косинуса.

- уравнение гармонических колебаний

– смещение - [м] – амплитуда колебаний - максимальное смещение тела от положения равновесия [м] – фаза колебаний – определяет положение колеблющегося тела в любой момент времени

- круговая или циклическая частота - число полных колебаний за секунды, – время

- начальная фаза – определяет положение колеблющегося тела в начальный момент времени при

[с] – период - время одного полного колебания

[Гц] - частота – число полных колебаний за единицу времени

Скорость гармонических колебаний определим как производную смещения:

Ускорение

Тогда запишем - дифференциальное уравнение

гармонических колебаний

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы

Тогда полная энергия гармонических колебаний

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая гармонические колебания - пружинный, физический и математические маятники.

Пружинный маятник – это груз массой , подвешенный на упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы

	где - жесткость пружины - период колебаний пружинного маятника Потенциальная энергия пружинного маятника
	Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания, вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тяжести. - период колебаний физического маятника. где J - момент инерции, l - расстояние между точкой подвеса и центром тяжести - приведенная длина физического маятника

Тогда

Математический маятник – система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на нерастяжимой, невесомой нити и колеблющаяся под действием силы _..

- период колебаний математического маятника Если , то периоды колебаний одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника – эта длина такого математического маятника, при котором их периоды одинаковы.

Рассмотрим свободные затухающие колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени уменьшается. Уменьшение энергии происходит вследствие трения в механических колебательных системах и превращение её в теплоту.

- дифференциальное уравнение

свободных затухающих колебаний

где - коэффициент затухания, - коэффициент сопротивления. Решением этого уравнения в случае малых затуханий является

– амплитуда затухающих колебаний, - начальная амплитуда

Промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в раз - время релаксации

Тогда период затухающих колебаний

Если и - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то отношение

- декремент затухания

а его логарифм - логарифмический декремент

– число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз.

- дифференциальное уравнение вынуж-

денных затухающих колебаний

где

Решение уравнения равно сумме решения однородного уравнения и частного решения

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой и являются гармоническими колебаниями Рассмотрим зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты . Амплитуда вынужденных колебаний определяется по формуле

Резонанс - явление резкого возрастания амплитуды при совпадении частот вынуждающей силы и вынужденных колебаний.

При , значение резонансной частоты совпадает с _, тогда

Волна – процесс распространения колебаний в среде.

Основное свойство всех волн – перенос энергии без переноса вещества.

Продольные волны - частицы среды колеблются в направлении распространения волны - возникают при деформации сжатия и растяжения.

Поперечные волны – частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны - возникают при деформации сдвига.

Гармоническая поперечная волна

Этот график похож на график гармонических колебаний, но они различны по существу. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний – дает зависимость смещения данной частицы от времени. [м] - длина волны

Скорость продольной волны: Скорость поперечной волны:

где - модуль упругости или модуль Юнга; - модуль сдвига.

Для характеристики волн используется волновое число

Тогда уравнение волны можно записать в виде

- уравнение плоской волны

Аналогично - уравнение сферической волны

волновые поверхности которой имеют вид концентрических поверхностей.

Бегущие волны - волны, которые переносят в пространстве энергию.

Перенос энергии характеризуется вектором плотности потока энергии - вектор Умова. Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной в единицу времени через единицу площади, перпендикулярную направлению распространения волны.

Стоячие волны – волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

- уравнение стоячей волны

Звуковые волны - волны, распространяющиеся в любой среде в пределах частот 16 - 20000 Гц и воспринимаемые человеческим ухом.

16Гц – инфразвуки – оказывают физиологическое воздействие на человека, 20 кГц – ультразвуки - не воспринимаются человеком.

Основными характеристиками звука являются:

Высота - определяется частотой колебаний

Сила (интенсивность) - энергия, переносимая звуковой волной в единицу времени через единицу площади, перпендикулярную направлению распространения волны - энергетическая характеристика звуковой волны и мы субъективно оцениваем как громкость звука.

Тембр - оттенок или окраска звуковых колебаний.