Приклад 3.1.15. Обчислити .

Розв’язання.

.

3) Випадок парного степеня однієї функції:

а) , використовують формулу , .

б) , використовують формулу , .

Зазначені формули дозволяють знижувати степінь.

Приклад 3.1.16. Обчислити .

Розв’язання.

.

4) Випадок непарного степеня однієї функції.

а) - виділяють один , іншу частину виражають через і проводять заміну .

б) - виділяють один , іншу частину виражають через і проводять заміну .

Приклад 3.1.17. Обчислити .

Розв’язання.

.

5) Випадок добутку ступенів двох функцій:

а) – парні – знижують степінь (як у п.3);

б) хоча б один непарний, тоді розв’язують як у п. 4.

Приклад 3.1.18. Обчислити .

Розв’язання.

.

Приклад 3.1.19. Обчислити .

Розв’язання.

.

Розглянемо поняття визначеного інтеграла.

Нехай функція неперервна на відрізку і – будь-яка первісна для на . Тоді визначений інтеграл від на дорівнює зміненню первісної на цьому відрізку, тобто

.

(3.1.9)

Це формула Ньютона-Лейбниця. Її можна представити у вигляді

.

(3.1.10)

Визначений інтеграл – це число, для його обчислення попередньо знаходять первісну для відповідного невизначеного інтеграла.

Якщо на , то визначений інтеграл геометрично є площа криволінійної трапеції – фігури, обмеженою лініями (рис. 3.1.1).

0

Рис. 3.1.1 – Геометричний зміст визначеного інтеграла

Основні властивості визначеного інтеграла

• Значення визначеного інтеграла не залежить від змінної інтегрування

  .

  (3.1.11)

• При перестановці границь інтегрування знак визначеного інтеграла змінюється на протилежний

  .

  (3.1.12)

• Інтеграл з однаковими границями інтегрування дорівнює нулю

  .

  (3.1.13)

• Якщо відрізок інтегрування розбити точкою , то інтеграл по всьому відрізку буде дорівнює сумі інтегралів по його частинах

  .

  (3.1.14)

• Інтеграл від алгебраїчної суми підінтегральних функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій

  .

  (3.1.15)

• Постійний множник можна виносити за знак інтеграла

  .

  (3.1.16)

• Визначений інтеграл у симетричних щодо нуля границях від парної функції дорівнює подвоєному інтегралу на половини інтервалу інтегрування:

  .

  (3.1.17)

• Визначений інтеграл у симетричних щодо нуля границях від непарної функції дорівнює нулю

.

(3.1.18)

Заміна змінної і інтегрування частинами у певному інтегралі має свої особливості:

• Якщо при обчисленні визначеного інтеграла застосовується одна з існуючих замін , то перетвориться не тільки підінтегральний вираз, але і границі інтегрування за формулою:

,

(3.1.19)

де . Проводячи заміну змінної в певному інтегралі, до старої змінного не вертаються.

• Інтегрування частинами у певному інтегралі здійснюється за формулою:

.

(3.1.20)

Приклад 3.1.20. Обчислити інтеграл

Розв’язання. Вводимо нову змінну інтегрування, думаючи . Звідси знаходимо .

Обчислимо нові границі інтегрування:

при маємо , ;

при маємо , .

Отже,

.

Приклад 3.1.21. Застосовуючи формулу інтегрування частинами, обчислити інтеграл .

Розв’язання. Покладемо , тоді . Звідси за формулою інтегрування частинами одержимо:

.