Графік функції називається опуклим на інтервалі , якщо він розташований нижче дотичної, проведеної до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу (рис. 2.3.1).

Графік функції називається увігнутим на інтервалі , якщо він розташований вище дотичної, проведеної до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу (рис. 2.3.2). Точка кривої, що відокремлює її опуклу дугу від увігнутої, називається точкою перегину.

Рис. 2.3.1 – Графік Рис. 2.3.2 – Графік

опуклої функції увігнутої функції

Достатня ознака опуклості (увігнутості) графіка функції: якщо на інтервалі , то графік функції є опуклим на цьому інтервалі; якщо , то на інтервалі графік функції увігнутий.

Точки кривої, у яких друга похідна або не існує, називаються критичними точками другого роду. Точки перегину варто шукати серед критичних точок другого роду.

У критичній точці другого роду перегин буде тільки в тому випадку, коли при переході через цю точку змінює знак.

Приклад 2.3.3. Визначити інтервали опуклості і увігнутості і точки перегину графіка функції .

Розв’язання.

1) Область визначення функції – інтервал .

2) Знайдемо перші і другу похідні функції

, .

3) Розв’яжемо рівняння і знаходимо, що і . Це критичні точки, які ділять область визначення функції на інтервали , , .

+ – +

2 3

На інтервалі крива опукла , а на інтервалах і – увігнута . Таким чином, при переході через точки і друга похідна змінює знак. Ці точки є точками перегину. Значення функції в точках перегину: , .

Пряма називається асимптотою кривої , якщо відстань від точки кривої до прямої прямує до нуля при видаленням прямуванні точки в нескінченність.

Розрізняють асимптоти вертикальні, горизонтальні і похилі.

1. Крива має вертикальну асимптоту , якщо при , або при . Вертикальні асимптоти – це, наприклад, нулі знаменника функції.

2. Крива має горизонтальну асимптоту , якщо при .

3. Для визначення похилої асимптоти кривої слідує знайти числа і за формулами

,

(2.3.1)

(іноді варто окремо розглядати випадки і ).

Рекомендується дослідження функцій методами диференціального обчислення проводити, дотримуючись такого приблизного плану.

1. Знайти область визначення функції, інтервали неперервності і точки розриву.

2. Визначити парність або непарність функції, її періодичність.

3. Знайти точки перетину графіку функції осей координат.

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. Визначити інтервали монотонності, точки екстремуму функції.

6. Визначити інтервали опуклості, увігнутості, точки перегину графіка функції.

7. За результатами дослідження побудувати графік функції.

Приклад 2.3.4. Дослідити функцію і побудувати її графік.

Розв’язання.

1. Функція визначена і неперервна на всій числовій осі за винятком точок і , у яких функція має розриви.

2. Тому що , то дана функція непарна. Функція не є періодичною, тому що вона представляє раціональний дріб.

3. Тому що , то графік проходить через початок координат.

4. Оскільки функція має точки розриву, то її графік має вертикальні асимптоти: і .

Горизонтальних асимптот крива не має, тому що .

Перевіримо наявність похилих асимптот , де

,

.

Рівняння похилої асимптоти .

5. Визначаємо інтервали монотонності функції, максимуми і мінімуми.

Для цього знайдемо похідну . Прирівнюємо похідну до нуля: і визначимо критичні точки першого роду: , , . Тому що при функція має розриви, то ці значення не будуть критичними. Визначимо знаки похідної в інтервалах , , , , , , на які точки , , розбивають всю область визначення даної функції і занесемо отримані дані в таблицю 2.3.2.

Таблиця 2.3.2 – Дослідження функції за допомогою першої похідної

	-	0	+	-	+	0	+	-	+	0	-
		min		-		-		-		max

, .

6. Визначаємо інтервали опуклості і увігнутості, точки перегину графіка.

Знаходимо другу похідну ; при , а при не існує. Визначимо знаки в кожному з інтервалів , , , (таблиця 2.3.3).

Таблиця 2.3.3 – дослідження функції за допомогою другої похідної

			0
	+	–	0	+	–
Графік	увігнутість	опуклість	перегин	увігнутість	опуклість

– 3

3

Рис. 2.3.3 – Графік функції