Модуль 3 інтегральне числення функції однієї змінної

3.1. Основні методи інтегрування

Функція називається первісною для функції на деякому відрізку , якщо у всіх точках цього відрізка виконується рівність . Процес знаходження первісної для заданої функції називається інтегруванням.

Інтегрування функцій – дія, обернена диференціюванню. Знайти невизначений інтеграл означає, що потрібно знайти первісну функції, тобто функцію, похідна якої дорівнює підінтегральній функції.

Невизначеним інтегралом від функції називається сукупність всіх її первісних

,

(3.1.1)

де – довільна постійна.

Обчислення невизначеного інтеграла здійснюється з використанням таблиці інтегралів, властивостей інтеграла, а також цілого ряду спеціальних прийомів.

Таблиця основних інтегралів

Основні властивості невизначеного інтеграла

• Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції; диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

  ; .

  (3.1.2)

• Невизначений інтеграл від диференціала функції дорівнює сумі цієї функції і довільної постійної:

  .

  (3.1.3)

• Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

  .

  (3.1.4)

• Невизначений інтеграл алгебраїчної суми скінченного числа доданків дорівнює сумі невизначених інтегралів доданків:

  .

  (3.1.5)

• Якщо справедлива рівність , то справедливим буде і співвідношення:

.

(3.1.6)

До основних методів інтегрування відносяться: безпосереднє інтегрування, метод заміни змінної і інтегрування частинами.

Метод інтегрування, заснований на застосуванні властивостей невизначеного інтеграла і таблиці інтегралів, називається безпосереднім інтегруванням. Розглянемо цей метод на прикладах.

Приклад 3.1.1.

= = .

Приклад 3.1.2. = .

Приклад 3.1.3. .

Якщо інтеграл не може бути обчислений безпосередньо, то введенням нової незалежної змінної в багатьох випадках вдається перетворити підінтегральний вираз. При цьому інтеграл зводиться до табличного. Вкажемо правило підстановки: припускають , де – нова змінна. Продиференціювавши цю рівність, одержимо: . Підставляючи в підінтегральний вираз замість і їх значення, виражені через і , маємо:

.

(3.1.7)

Після того як інтеграл з новою змінною буде знайдено, за допомогою підстановки він зводиться до змінної .

Приклад 3.1.4. = = =

.

Приклад 3.1.5. .

Приклад 3.1.6.

Якщо підінтегральний вираз містить лінійну ірраціональність типу , то доцільно використати підстановку: .

Приклад 3.1.7.

Інтегрування частинами називається знаходження інтеграла за формулою:

.

(3.1.8)

При використанні даного методу необхідно, насамперед, установити, яку функцію прийняти рівною , а що позначити через , потім за встановленим виразом диференціюванням знайти , а за відомим шляхом інтегрування знайти функцію (при цьому вважають, що ).

Для інтегралів виду , де – многочлен, за варто прийняти .

Для інтегралів виду за приймаються відповідно функції , , , , , .

Для інтегралів виду ; ; ; за приймається кожна з функцій, але обов'язково потрібне дворазове інтегрування частинами.

Приклад 3.1.8. .

Приклад 3.1.9.

.

Розглянемо правильний раціональний дріб ( , – многочлени, степінь менше степеня ). Кожний правильний раціональний дріб може бути представленим у вигляді суми скінченного числа простих дробів.

Розглянемо кілька випадків:

а) , тоді дріб представляють у вигляді:

,

де – коефіцієнти, які необхідно визначити.

б) , тоді

,

– необхідно визначити.

в) .

.

Послідовність розкладання правильного раціонального дробу буде такою:

1)	Знаменник дробу розкладають на множники.
2)	Заданий дріб представляють у вигляді суми простих дробів з невідомими коефіцієнтами.
3)	Приводять до загального знаменника суму простих дробів і прирівнюють чисельники обох частин.
4)	Визначають коефіцієнти і переходять до інтегрування простих дробів. Щоб знайти коефіцієнти використовують два способи: а) задають конкретні значення (корінь знаменника); б) прирівнюють коефіцієнти при однакових степенях і розв’язують систему. Перший прийом особливо зручний, коли знаменник розкладається на різні множники.
Зауваження.		Якщо підінтегральний дріб неправильний, то, розділивши чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів), можна представити даний дріб у вигляді суми многочлена і правильного дробу.

Розглянемо всі етапи інтегрування раціональних дробів на прикладах.

Приклад 3.1.10. Обчислити .

Розв’язання. Виділимо в підінтегральному виразі цілу частину:

Одержимо .

Розкладемо знаменник простого дробу на множники:

.

.

.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях змінної і розв’яжемо систему рівнянь.

.

Приклад 3.1.11. Обчислити .

Розв’язання.

.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях змінної .

;

.

=(у знаменнику виділимо повний квадрат і зробимо заміну)=

При інтегруванні ірраціональних функцій головна ідея полягає в тому, щоб різними перетвореннями звести даний інтеграл до інтеграла від відомих раціональних функцій.

1. Інтеграл від найпростішої квадратичної ірраціональності обчислюють шляхом виділення повного квадрата в знаменнику і заміни змінної. Далі інтеграл приводять до табличних інтегралів:

и.

Приклад 3.1.12. Обчислити .

Розв’язання.

.

2. Інтеграл від більш складної квадратичної ірраціональності обчислюють шляхом виділення під коренем повного квадрата, заміни змінної і одержання суми двох інтегралів: одного виду , а іншою – виду 1).

Приклад 3.1.13. Обчислити .

Розв’язання.

.

При інтегруванні тригонометричних функцій розглядають такі випадки:

1. Випадок переходу від добутку функцій до суми:

а) ;

б) ;

в) .

У результаті застосування зазначених формул одержують табличні інтеграли.

Приклад 3.1.14. Обчислити .

Розв’язання.

.

2) Випадок, коли є добуток степеня однієї функції на іншу:

а) , проводять заміну ;

б) , проводять заміну .