Модуль 1 елементи лінііної алгебри

1. Матриці і визначники

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, що містить рядків і стовпців:

(1.1.1)

Числа, що становлять матрицю, називаються елементами матриці. Матриці позначаються великими літерами латинського алфавіту, наприклад, , , , …, а для позначення елементів матриці використовуються малі літери з подвійною індексацією: , де – номер рядка , – номер стовпця . Числа і визначають розташування елемента в матриці і відіграють роль координат цього елемента в прямокутній таблиці чисел. Кількість рядків і стовпців визначає розмірність матриці. Розмірність даної матриці . Наприклад, .

Дві матриці і однієї розмірності називаються рівними, якщо вони збігаються поелементно, тобто для будь-яких і .

Матриця, яка складається з одного рядка, називається матрицею-рядком, а з одного стовпця – матрицею-стовпцем:

– матриця-рядок; – матриця-стовпець.

Матриця називається квадратною -го порядку, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює . Наприклад, – квадратна матриця третього порядку.

Елементи матриці , у яких номер стовпця дорівнює номеру рядка , називаються діагональними і утворюють головну діагональ матриці. Для квадратної матриці головну діагональ утворять елементи , ,…, ...

Якщо всі недіагональні елементи квадратної матриці дорівнюють нулю, то матриця називається діагональною. Наприклад, – діагональна матриця третього порядку.

Якщо у діагональної матриці -го порядку всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, то матриця називається одиничною матрицею -го порядку, вона позначається буквою . Наприклад, – одинична матриця третього порядку.

Матриця будь-якого розміру називається нульовою, або нуль-матрицею, якщо всі її елементи дорівнюють нулю: .

Над матрицями, як і над числами, можна здійснювати операції, причому деякі з них аналогічні операціям над числами, а деякі специфічні.

Множення матриці на число. Добутком матриці на число називається матриця , елементи якої для і .

Наприклад, якщо , то .

Наслідок. Загальний множник всіх елементів матриці можна виносити за знак матриці.

Наприклад, .

Зокрема, добутком матриці на число 0 є нульова матриця, тобто .

Додавання матриць. Сумою двох матриць і однакового розміру називається матриця , елементи якої для і (тобто матриці додаються поелементно).

Наприклад,

В окремому випадку .

Віднімання матриць. Різниця двох матриць однакового розміру визначається через попередні операції: .

Множення матриць. Множення матриці на матрицю визначено, якщо число стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці . Тоді добутком матриць називається така матриця , кожний елемент якої дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці на відповідні елементи -го стовпця матриці :

.

Приклад 1.1.1. Виконати множення матриць: і .

Розв’язання.

.

Таким чином, у результаті множення матриці на матрицю одержуємо матрицю , число рядків у якій дорівнює числу рядків матриці , а число стовпців матриці дорівнює числу стовпців матриці .

Багато властивостей, властивих операціям над числами, справедливі і для операції над матрицями:

1. .

2. .

3. .

4. 

5. 

6. 

_{Однак є і специфічні властивості матриць. Так, операція множення матриць має деякі відмінності від множення чисел:}

_{а) якщо добуток матриць існує, то після перестановки співмножників місцями добуток матриць може і не існувати;}

_{б) якщо навіть добутки і існують, то вони можуть бути матрицями різних розмірів.}

Приклад 1.1.2. Знайти добуток матриць і : , .

Розв’язання.

тобто

в) у випадку, коли обидва добутки і існують і є – матрицями однакового розміру (це можливо тільки при множенні квадратних матриць і одного порядку), комутативний закон може не виконуватись, тобто .

Приклад 1.1.3. Знайти добуток матриць і : , .

Розв’язання. ; , тобто .

В окремому випадку комутативний закон справедливий для добутку будь-якої квадратної матриці -го порядку на одиничну матрицю того ж порядку, причому цей добуток дорівнює : . Таким чином, одинична матриця відіграє при множенні матриць ту ж роль, що і число 1 при множенні чисел.

г) добуток двох ненульових матриць може дорівнювати нульовій матриці, тобто з того, що , не слідує, що , або .

Наприклад, ; , але .

Піднесення до степеня. Цілим додатнім ступенем квадратної матриці називається добуток матриць, рівних , тобто

_{Зауваження. Операція піднесення до степеня визначається тільки для квадратних матриць.}

За означенням , .

Приклад 1.1.4. Знайти , де .

Розв’язання. .

Зауваження. З рівності ще не слідує, що .

Транспонування матриці – перехід від матриці до матриці , у якій рядки і стовпці помінялися місцями зі збереженням порядку. Матриця називається транспонованою щодо матриці .

З означення слідує, що якщо матриця має розмір , то транспонована матриця має розмір .

Наприклад, _; .

_{Властивості операції транспонування:}

Визначник – це число, що характеризує квадратну матрицю _{, і} обчислюється за певними правилами. Визначник матриці позначається або .

.

(1.1.2)

Визначник (1.1.2) -го порядку, тут – елемент визначника, де – номер рядка і – номер стовпця в яких перебуває елемент. Елемент , де , розташований на головній діагоналі.

Визначником матриці першого порядку , або визначником першого порядку, називається елемент _.

Наприклад, нехай , тоді .

_{Визначником матриці другого порядку, або визначником другого порядку, називається число, що обчислюється за формулою:}

(1.1.3)

Наприклад, нехай , тоді

_{Визначником матриці третього порядку, або визначником третього порядку, називається число, що обчислюється за формулою:}

	(1.1.4)

_{Мінором} елемента матриці -го порядку називається визначник матриці -го порядку, отриманої з матриці викреслюванням -го рядка і -го стовпця.

Наприклад, мінором елемента матриці третього порядку буде:

_.

Кожна матриця -го порядку має мінорів -го порядку.

Алгебраїчним доповненням елемента матриці -го порядку називається його мінор, узятий зі знаком

: тобто алгебраїчне доповнення збігається з мінором, коли сума номерів рядка і стовпця – парне число, і відрізняється від мінору знаком, коли – непарне число.

Приклад 1.1.5. Знайти алгебраїчні доповнення всіх елементів матриці

.

Розв’язання.

; ; ;

; ; ;

; ; .

Важливе значення для обчислення визначників має така теорема:

Визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.

Значення цієї теореми полягає в тому, що дозволяє звести обчислення визначників -го порядку до обчислення більш простих визначників -го порядку.

Приклад 1.1.6. Обчислити визначник: .

Розв’язання. Розкладаємо по першому стовпцю, одержуємо:

.

Властивості визначників:

• Якщо який-небудь рядок (стовпець) визначника складається з одних нулів, то визначник дорівнює нулю.

• Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) визначника помножити на число , то значення визначника помножиться на це число .

• При транспонуванні матриці її визначник не змінюється: .

• При перестановці двох рядків (стовпців) визначника його значення змінює знак на протилежний.

• Якщо визначник містить два однакові рядки (стовпця), то його значення дорівнює 0.

• Якщо елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то його значення дорівнює 0.

• Визначник не зміниться, якщо до елементів якого-небудь рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця), попередньо помножені на то саме число.

Матриця називається оберненою до квадратної матриці , якщо при множенні цієї матриці на дану як праворуч, так і ліворуч отримаємо одиничну матрицю:

.

(1.1.5)

З визначення слідує, що тільки квадратна матриця має обернену; у цьому випадку і обернена матриця є квадратною того ж порядку. Однак не кожна квадратна матриця має обернену.

Якщо визначник матриці відмінний від нуля, то така квадратна матриця називається невиродженою; у протилежному випадку – виродженою.

Обернена матриця існує (і єдина) тоді і тільки тоді, коли вихідна матриця невироджена. Обернена матриця дорівнює транспонованій матриці алгебраїчних доповнень, ділених на визначник матриці:

.

(1.1.6)

Приклад 1.1.7. Знайти матрицю обернену до матриці

Розв’язання. Знайдемо алгебраїчні доповнення

Отже, можна сформувати обернену матрицю:

.

Легко перевірити, що

.

Для невироджених матриць виконуються такі властивості:

;	;
;	.

Для розв’язання і дослідження деяких математичних і прикладних завдань важливе значення має поняття рангу матриці.

У матриці розміру викреслюванням яких-небудь рядків і стовпців можна виділити квадратні підматриці -го порядку, де . Визначники таких підматриць називаються мінорами -го порядку матриці .

Наприклад, з матриці можна одержати підматриці першого, другого і третього порядків.

Рангом матриці називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці.

Ранг матриці позначається або _.

_{З означення слідує:}

а) ранг матриці не перевищує меншого з її розмірів, тобто ;

б) тоді і тільки тоді, коли всі елементи матриці дорівнюють нулю;

в) для квадратної матриці -го порядку тоді і тільки тоді, коли матриця – невироджена.

_{Приклад 1.1.8. Обчислити ранг матриці .}

Розв’язання. Матриця має четвертий порядок, тому _{. Однак} , тому що матриця містить нульовий стовпець. Всі підматриці третього порядку тож містять нульовий стовпець і тому мають нульові визначники, значить . Всі підматриці другого порядку або мають нульовий стовпець (другий або четвертий), або мають пропорційні стовпці (перш і третій), тому тож мають нульові визначники; у такий спосіб _. Оскільки матриця містить ненульові елементи, тобто невироджені підматриці першого порядку, то .

Приклад 1.1.9. Обчислити ранг матриці .

Розв’язання. Для матриці . Перевіримо, чи дорівнює ранг 3-м, для цього обчислимо всі мінори третього порядку, тобто визначники всіх підматриць третього порядку:

_{; ; ; .}

_{Оскільки всі мінори третього порядку нульові, то} . Так як існує ненульовий мінор другого порядку, наприклад, , то _.

_{У загальному випадку визначення рангу матриці перебором всіх мінорів досить трудомістке. Для полегшення цього завдання використовуються такі елементарні перетворення, які зберігають ранг матриці:}

1. _{Відкидання нульового рядка (стовпця).}

2. _{Множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на число, не рівне нулю.}

3. _{Зміна порядку рядків (стовпців) матриці.}

4. _{Додавання до кожного елемента одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число.}

5. _{Транспонування матриці.}

_{За допомогою елементарних перетворень можна привести матрицю до так званого східчастого виду, коли обчислення її рангу не представляє труднощів.}

Матриця називається східчастою, якщо вона має вигляд:

,

(1.1.7)

де _{, ; .}

Очевидно, що ранг східчастої матриці дорівнює , тому що є мінор -го порядку, який не дорівнює нулю:

.

Рівність рангів матриць позначається знаком .

Приклад 1.1.10. Знайти ранг матриці .

Розв’язання. Позмінюємо місцями першу і другу рядки матриці

.

Остання матриця має східчастий вигляд і містить мінори другого порядку, не рівні нулю, наприклад, . Тому ранг отриманої східчастої, а отже, і даної матриці дорівнює 2.