3. Елементи векторної алгебри

Вектором називається спрямований відрізок , у якому точка розглядається як початок, а точка – як кінець. Вектор позначається або зазначенням його початку і кінця з рискою або стрілкою нагорі, або однією буквою, наприклад, .

Модулем (довжиною) називається відстань між початком і кінцем вектора і позначається . Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним.

Вектори, паралельні одній прямою, називаються колінеарними. Вектори, паралельні одній площини, називаються компланарними.

Два вектори і (рис. 1.3.1) називаються рівними, якщо вони:

1) мають рівні модулі; 2) колінеарні; 3) однаково спрямовані.

Рис.1.3.1 – Колінеарні вектори

Якщо вектори мають однакову довжину, але протилежні напрямки, то вони називаються взаємнопротилежними. Вектор, протилежний вектору , позначається .

Добутком вектора на число називається вектор , такий, що

1) ;

2) при (вектори і однаково спрямовані);

при (вектори і протилежно спрямовані).

Сумою двох векторів і називається вектор , що виходить з початку вектора в кінець вектора , за умови, що початок вектора прикладений до кінця вектора (правило трикутника).

Різницею двох векторів і називається третій вектор , сума якого з вектором дає вектор , тобто , якщо .

Проекцією вектора на вісь називається довжина відрізка, укладеного між проекціями початку і кінця вектора на цю вісь,взята зі знаком «+», якщо кут між вектором і віссю гострий, і знаком «-», якщо цей кут тупий (рис. 1.3.2). Позначення: .

Рис. 1.3.2 – Проекція вектора на вісь

Проекція вектора на вісь дорівнює модулю вектора , помноженому на косинус кута між додатнім напрямком осі і вектором:

, де .

(1.3.1)

Розглянемо в просторі прямокутну систему координат. Віднесемо до кожної з осей одиничний вектор, напрямок якого збігається з додатнім напрямком осі. Так, осі віднесемо одиничний вектор , осі – одиничний вектор і осі – одиничний вектор . Три взаємно перпендикулярних вектори називаються ортами. Усякий вектор можна представити у вигляді його розкладання по ортах:

,

(1.3.2)

де – проекції цього вектора на координатні осі. Вектор у координатній формі записують .

Якщо для вектора відомі координати його початку і координати його кінця , то координати вектора дорівнюють різницям відповідних координат кінця і початку вектора, тобто

.

(1.3.3)

Якщо відомо розкладання векторів по осях координат, то лінійні операції над векторами можна замінити арифметичними діями над їхніми проекціями.

Приклад 1.3.1. Дано вектори , . Знайти суму векторів і різницю .

Розв’язання. При додаванні векторів їхні проекції додаються, а при відніманні віднімаються, то

,

;

.

Модуль (довжина) вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його проекцій на осі координат

або .

(1.3.4)

Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке дорівнює добутку модулів векторів, що перемножуються, на косинус кута між ними

.

(1.3.5)

Скалярний добуток двох векторів дорівнює модулю одного з векторів, помноженому на проекцію на нього іншого вектора:

.

(1.3.6)

Якщо , то . Зокрема, при скалярному множенні вектора самого на себе виходить квадрат його модуля, тобто

.

(1.3.7)

Якщо вектори і задані своїми координатами: , , то скалярний добуток дорівнює сумі добутків їх однойменних координат:

.

(1.3.8)

Кут між векторами і визначається за такими співвідношенням:

.

(1.3.9)

Властивості скалярного добутку:

;
, ;
;
.

Приклад 1.3.2. Довжини векторів і рівні , і кут між векторами . Знайти скалярні квадрати векторів і їх скалярний добуток.

Розв’язання. Скориставшись формулами (1.3.5) і (1.3.7), одержимо скалярний добуток векторів

;

скалярні квадрати векторів , .

Приклад 1.3.3. Знайти довжини і скалярний добуток векторів , .

Розв’язання. Довжини векторів знайдемо за формулою (1.3.4)

, .

Скалярний добуток векторів знайдемо за формулою (1.3.8)

.

Приклад 1.3.4. визначити косинус кута між векторами , .

Розв’язання. За формулою (1.3.9)

.