4.2. Числові ряди

Нехай числа є членами нескінченної послідовності, сума яких може бути представлена так:

= .

(4.2.1)

Отриманий вираз називається числовим рядом, числа називаються членами ряду.

Розглянемо суми скінченного числа членів ряду , , …, , де – -ая часткова сума ряду. Ряд називається збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум, тобто . Число називається сумою ряду. Якщо скінченної границі послідовності часткових сум не існує, то ряд називається розбіжним.

Необхідна ознака збіжності числового ряду: якщо ряд = збігається, то .

Звертаємо увагу на то, що зворотне твердження, взагалі кажучи, невірне: якщо , то ряд не обов'язково збігається. Але якщо , то ряд розбігається.

Для дослідження на збіжність (або розбіжність) у випадку знакододатніх рядів застосовуються такі достатні ознаки збіжності.

Ознака Даламбера. Нехай для знакододатнього ряду існує границя відношення члена ряду з номером до -го члена ряду

.

(4.2.2)

Тоді, якщо

• , то ряд збігається;

• , то ряд розбігається;

• , питання про збіжність за допомогою ознаки Даламбера не вирішується.

Приклад 4.2.1. Дослідити збіжність ряду .

Розв’язання. Тому що , то

.

Тоді

.

Отже, ряд розбігається.

Радикальна ознака Коші. Якщо для знакододатнього ряду при існує границя кореня -ого степеня з його загального члена

,

(4.2.3)

тоді, якщо

• , то ряд збігається;

• , то ряд розбігається;

• , питання про збіжність ця ознака не вирішує.

Дану ознаку рекомендується використовувати, якщо загальний член ряду є показово-степеневою функцією відносно .

Приклад 4.2.2. Дослідити збіжність ряду .

Розв’язання. Тому що , то , звідси

.

Отже, даний ряд збігається.

Інтегральна ознака Коші. Якщо загальний член знакододатнього ряду є неперервною, додатною і монотонно спадною функцією його номеру , то ряд збігається або розбігається разом з невласним інтегралом

,

(4.2.4)

де – загальний член ряду, у якому замінили на .

Приклад 4.2.3. Дослідити збіжність гармонійного ряду .

Розв’язання. Обчислимо

.

Отже, гармонійний ряд розбігається.

Ряд виду , де – додатні числа, називається знакопочерговим.

Збіжність знакопочергових числових рядів досліджують тільки за ознакою Лейбниця: якщо члени знакопочергового ряду спадають за абсолютною величиною і границя загального члена при дорівнює нулю, тобто , то ряд збіжний.

Наприклад, ряд збігається, тому що обидві умови збіжності за ознакою Лейбниця виконуються.

4.3. Степеневі ряди

Ряд

,

(4.3.1)

членами якого є функції від , називається функціональним.

Функціональний ряд називається збіжним в точці , якщо при він перетворюється в збіжний числовий ряд.

Функціональний ряд називається розбіжним в точці , якщо при він перетворюється в розбіжний числовий ряд.

Множина значень , при яких функціональний ряд збігається, називається областю збіжності функціонального ряду.

Функціональні ряди виду

або

,

де – числа.

Для знаходження інтервалів збіжності степеневих рядів звичайно застосовується ознака Даламбера до відповідних рядів, побудованих з абсолютних значень членів досліджуваного ряду.

Дослідження збіжності числових рядів проводиться в такий спосіб:

а) визначають значення , для яких ряд збігається, виходячи з умови

;

б) ряд буде розбігається, якщо

;

в) додатковою перевіркою перевіряють значення , для яких

;

г) остаточно записують інтервал збіжності ряду.

Приклад 4.3.1. Знайти інтервал збіжності ряду .

Розв’язання. Маємо:

, .

Записуємо умову збіжності ,

звідки знаходимо, що , тобто . Останнє можна записати так . Залишається уточнити збіжність ряду в граничних точках, тобто при і .

При одержуємо знакопочерговий числовий ряд який збігається, тому що виконуються обидві умови збіжності з ознаки Лейбніця.

При одержуємо гармонійний ряд який, як уже було доведено, розбігається за інтегральною ознакою Коші. Тому інтервал збіжності досліджуваного ряду має вигляд

.