М одуль 2 вступ в математичниі аналіз

2.1. Розкриття невизначеностей, I і II визначні границі

Число є границею функції при , якщо для будь-якого, навіть як завгодно малого, додатного числа існує таке додатне число , що для всіх , що задовольняють умові , виконується нерівність

.

(2.1.1)

Той факт, що функція при має границю, рівну , прийнято позначати у вигляді

.

(2.1.2)

Функція називається нескінченно малою при , якщо

.

(2.1.3)

Функція називається нескінченно великою при , якщо

.

(2.1.4)

Функція називається обмеженою при , якщо існує таке додатне число , що для всіх значень із окола числа виконується нерівність

.

(2.1.5)

Зв'язок між нескінченно більшими і нескінченно малими функціями:

• Якщо функція при є нескінченно великою, то функція буде нескінченно рисою (умовно: ).

• Якщо функція при є нескінченно малою, то функція буде нескінченно великою, причому є умова, що в околі точки функція нуль не дорівнює (умовно : ).

Припустимо, що функції мають границі при . Тоді можна сформулювати такі правила:

1. Границя постійної величини дорівнює самої цієї постійної

.

2. Постійний множник можна виносити за знак границі

.

3. Границя алгебраїчної суми скінченого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі границь функцій, якщо ці границі існують

.

4. Границя добутку кінцевого числа функцій дорівнює добутку границь цих функцій, якщо ці границі існують

.

5. Границя частки двох функцій дорівнює частці їхніх границь, якщо

.

При знаходженні границі функції потрібно спочатку у виразі функції замінити аргумент його граничним значенням. Наприклад,

.

Обчислення границі функції шляхом підстановки замість аргументу його граничного значення не завжди можливо, тому що часто це приводить до невизначених виразів виду ; ; ; ; , але із цього не слідує, що границя функції не існує. У таких випадках необхідно зробити низку перетворень, які дозволять оцінити границю. Розглянемо деякі прийоми відшукання границь у випадку невизначеностей.

Невизначеність виду виникає при відношенні многочленів. Її розкривають розкладанням чисельника і знаменника почленно на , де вищий степінь чисельника і знаменника.

Приклад 2.1.1. .

Розв’язання. Оцінка чисельника і знаменника при приводить до невизначеності . Для розв’язання завдання варто розділити чисельник і знаменник на , а після перейти до безпосереднього обчислення границі. Отже,

.

Приклад 2.1.2. .

Розв’язання. Тут найвищий степінь змінної , на ії і ділять.

.

Приклад 2.1.3.

При розкритті невизначеності виду корисно запам'ятати таке правило:

а) якщо степінь чисельника більше степеня знаменника, то границя дорівнює ;

б) якщо степінь чисельника менше степеня знаменника, то границя дорівнює 0;

в) якщо степінь чисельника дорівнює степеню знаменника, то границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при найвищих степенях у чисельнику і знаменнику.

Невизначеність виду при розкривають різними способами:

а) Якщо вона виникла в результаті розподілу двох многочленів, то її розкривають виділенням у чисельнику і знаменнику множника і скороченням на нього (тобто розкладанням на множники і наступним скороченням).

Приклад 2.1.4. Знайти .

Розв’язання. Безпосередня підстановка граничного значення аргументу приводить до невизначеності . Отже, перш ніж перейти до границі, необхідно даний вираз перетворити. Чисельник і знаменник даного дробу розкладаємо на множники. Маємо:

.

Підставляючи в перетворений вираз граничне значення аргументу, маємо .

б) Для розкриття невизначеності , що містить ірраціональні вирази, слідує чисельник і знаменник домножити на спряжений вираз для ірраціонального, після чого зробити необхідні спрощення і обчислити границю.

Приклад 2.1.5. Знайти .

Розв’язання. Якщо у вираз підставити , то одержимо невизначеність . Щоб ії розкрити, помножимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений чисельнику. Після цього скорочуємо на і на підставі теореми про границю дробу маємо:

.

Невизначеність виду , утворену різницею двох нескінченно більших величин одного знака, розкривають домноженням на спряжений вираз, приведенням до загального знаменника або винесенням загального множника. При домножені на спряжений вираз необхідно одночасно розділити на нього.

Приклад 2.1.6. .

Розв’язання. .

Приклад 2.1.7. .

Розв’язання. Домножимо і розділимо вираз на спряжений до нього вираз, одержимо

.

Приклад 2.1.8. .

Розв’язання.

.

Для розкриття невизначеностей , що містять тригонометричні функції, використовують першу визначну границю:

Границя відношення синуса нескінченно малого аргументу до величини цього аргументу дорівнює одиниці.
.	(2.1.6)

На основі цієї визначної границі часто застосовують формули

, , .

(2.1.7)

Приклад 2.1.9. .

Розв’язання. Чисельник і знаменник домножим на 5.

.

Приклад 2.1.10. .

Розв’язання. Чисельник і знаменник розділимо і домножим на відсутні елементи, що дозволяють використовувати першу визначну границю.

.

Приклад 2.1.11. .

Розв’язання. Використовуємо формулу .

.

Друга визначна границя розкриває невизначеність виду і має дві форми:

, .

(2.1.8)

Ця визначна границя має такі особливості: вона виражає суму одиниці і нескінченно малою; показник степеня – нескінченно великою і є оберненим нескінченно малому доданку.

Число широко застосовують у математиці. Зокрема, число беруть як основу логарифму. Такі логарифми називають натуральними: .

Приклад 2.1.2.

Розв’язання.

I спосіб: додамо і віднімемо одиницю, щоб привести до стандартного виду другої визначної границі.

II спосіб: чисельник і знаменник розділимо на , потім окремо в чисельнику і знаменнику перетворимо до стандартного виду другої визначної границі.

.