4. Пряма на площині

Розглянемо основні формули аналітичної геометрії.

Якщо на площині задані дві точки і , то відстань між ними знаходиться за формулою

.

(1.4.1)

Напрямок відрізка визначається кутом нахилу цього відрізка до осі абсцис. Кут , утворений відрізком з додатнім напрямком осі , виражається через координати кінців відрізка за формулою

.

(1.4.2)

Якщо точка лежить на прямою, що проходить через точки і , і дане відношення , у якому точка ділить відрізок , то координати точки визначаються такими формулами:

, .

(1.4.3)

Зокрема, якщо точка – середина відрізка , то:

, .

(1.4.4)

Якщо задано координати трьох вершин трикутника , і , то площа трикутника визначається за формулою:

,

(1.4.5)

причому знак перед визначником вибирається залежно від знака самого визначника так, щоб число було додатнім.

Приклад 1.4.1. На осі ординат знайти точку, що знаходиться від точки на відстані 5 одиниць.

Розв’язання. Якщо точка лежить на осі ординат, то її абсциса дорівнює нулю, тобто точка має координати . Визначимо відстань між точками і за формулою (1.4.1) . За умовою задачі, , звідси і , , .

Отже, існують дві точки і , що знаходяться на відстані 5 одиниць від точки .

Приклад 1.4.2. Який кут утворює із віссю пряма, що проходить через точки і .

Розв’язання. Визначимо тангенс кута, під яким відрізок нахилений до осі за формулою (1.4.2): . Ця формула вірна при будь-якому розташуванні точок і . Таким чином, . Кут відлічується від осі проти годинникової стрілки.

Приклад 1.4.3. Дано три вершини паралелограма , і . Знайти четверту вершину , протилежну вершині .

Розв’язання. Відомо, що діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл. Тому координати точки – перетину діагоналей знайдемо як координати середини відрізка за формулою (1.4.4):

; ; .

Знаючи координати точки – середини діагоналі і координати одного з її кінців , визначимо координати вершини паралелограма:

; ; ; .

Отже, вершина .

Приклад 1.4.4. Пряма проходить через точки і . На цій прямою визначити точку, абсциса якої дорівнює 3.

Розв’язання. Точка лежить на прямою і ділить відрізок у відношенні . Знаючи абсцису точки , знайдемо і ординату цієї точки за формулою (1.4.3):

або , тоді .

Отже, .

Приклад 1.4.5. Визначити площу паралелограма, трьома вершинами якого є точки , і .

Розв’язання. Площа паралелограма дорівнює подвоєній площі трикутника (формула (1.4.5)):

, де од.кв.

Звідси, од.кв.

У прямокутних координатах рівняння прямої на площині задається в одному з таких видів:

1. Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно заданому вектору,

,

(1.4.6)

де – вектор, перпендикулярний прямою; – задана точка.

2. Загальне рівняння прямої

.

(1.4.7)

3. Рівняння прямої, що проходить через точку в заданому напрямку,

,

(1.4.8)

де – задана точка; – кутовий коефіцієнт прямої, тобто тангенс кута, що утворює пряма з додатнім напрямком осі .

4. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки і ,

.

(1.4.9)

5. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

,

(1.4.10)

де – кутовий коефіцієнт прямої; – величина відрізка, що відтинається прямою на осі ординат.

6. Рівняння прямої у відрізках на осях

,

(1.4.11)

де і - величини відрізків, які пряма відтинає на осях координат.

Знаючи рівняння прямих або точки на них, можна знайти:

1. Кутовий коефіцієнт прямої

   або .

   (1.4.12)

2. Кут між прямими

   або .

   (1.4.13)

3. Умови паралельності двох прямих

   або .

   (1.4.14)

4. Умови паралельності прямих

   або .

   (1.4.15)

5. Відстань від точки до прямої

.

(1.4.16)

Приклад 1.4.6. Знайти пряму, що проходить через точки і .

Розв’язання. Рівняння прямої за формулою (1.4.9) має вигляд

або .

Приклад 1.4.7. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку під кутом до осі абсцис.

Розв’язання. Пряма визначена точкою і напрям, де . Шукане рівняння за формулою (1.4.8) буде

або .

Приклад 1.4.8. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих і і точку .

Розв’язання. Знайдемо точку перетину даних прямих, вирішивши систему рівнянь

, .

Точка перетину прямих . Рівняння прямої, що проходить через дві точки і , за формулою (1.4.9) буде виглядати так:

або ,

звідки одержимо загальний рівняння шуканої прямої за формулою (1.4.7)

.

Приклад 1.4.9. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно вектору .

Розв’язання. Так як пряма проходить через точку перпендикулярно вектору , то скористаємося рівнянням (1.4.6), підставивши в нього: , , , . У результаті одержимо

або .

Це рівняння прямої є загальним (формула 1.4.7).

Приклад 1.4.10. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку на відстані від початку координат 5 одиниць масштабу.

Розв’язання. Рівняння шуканої прямої запишемо у вигляді (1.4.8), підставивши замість , координати заданої точки. Отримане рівняння приведемо до загального виду (1.4.7):

.

Початок координат перебуває на відстані 5 одиниць від цієї прямої. Використовуючи формулу (1.4.16), одержимо рівняння для визначення коефіцієнта :

,

звідки . Після зведення у квадрат обох частин цього рівняння одержимо

, звідки .

Отже, шукане рівняння запишеться так:

або .