§5.Элементарная теория катастроф. Признаки катастроф

Начала теории катастроф. ??? Впервые пример бифуркации или катастрофы изучался еще в XVIII веке выдающимся математиком Леонардом Эйлером. Речь идет о потере изгибной устойчивости колонны (или шпаги при ее вертикальном нагружении (Рис.7).

Подобные явления встречаются повсеместно, но зачастую остаются незамеченными, например, ухающее под ногами листовое железо, волнения в тюрьмах, щелчок крышки баночки йогурта, потеря устойчивости при ходьбе или танце, начало генерации лазера, переворачивание подтаявшей льдины или перегруженного судна, взрыв Сверхновой, резкие смены в поведении животных, аффекты психики, акт узнавания и даже творческие озарения …

Как ни странно, но в основе этих явлений лежит общий механизм, объясняемый теорией катастроф – теорией, моделирующей скачкообразные процессы произвольной природы.

F < F* > F

Рис. 7 Изгиб-катастрофа происходит не сразу, а при превышении критической нагрузки. Очевидно, что направлений изгиба может быть множество, но реализуется лишь один.

Основателями теории катастроф следует считать французского математика-тополога Рене Тома и российского математика Владимира Игоревича Арнольда, независимо друг от друга предложивших универсальную классификацию катастроф или, как предпочитает говорить Арнольд, особенностей дифференцируемых отображений. Сам же термин “теория катастроф” несет только математический смысл и может в равной мере хорошо описывать рождение научной идеи, свадьбу или стихийное бедствие.

Итак, катастрофа – это скачкообразное изменение характеристик системы при малых плавных изменениях ее внешних параметров. Теория катастроф – наиболее универсальный язык описания стадий становления в первом приближении, когда они представлены одной точкой - точкой бифуркации, т.е. кризис системы (скачков) происходит мгновенно. Именно в этом приближенность такого описания. Здесь можно говорить об ??? описании системы, использующим не три, а лишь два, мега- и макроуровни. При этом мы не распаковываем точку бифуркации, не заглядываем на микроуровень.

Источниками теории катастроф являются теория особенностей гладких отображений Уитни и теория бифуркаций динамических систем Пуанкаре и Андронова. Теория особенностей – это грандиозное обобщение исследования функций на максимум и минимум.

Простейшее отображение поверхности на плоскость – это сопоставление двух точек: точки поверхности и точки плоскости. Отображения гладких поверхностей на плоскость окружают нас со всех сторон. Действительно, большинство окружающих нас тел ограничено гладкими поверхностями. Видимые контуры тел – это проекции ограничивающих тела поверхностей на сетчатку глаза. Приглядываясь к окружающим нас телам, например, к лицам людей, мы можем изучить особенности видимых контуров. Уитни заметил, что в случаях «общего положения» встречаются особенности лишь двух видов. Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или направлений проектирования, в то время как особенности этих двух видов устойчивы и сохраняются при малых деформациях отображения.

Примером особенности первого вида является так называемая «складка».(Рис.8.) Проецирование поверхностей гладких тел на сетчатку в общих точках имеют именно такую особенность, и тут нет ничего удивительного.

Рис. 8

Проекция «складки» на плоскость дает только ее контур – гладкое отображение

У дивительно то, что кроме этой особенности (складки) мы всюду встречаем еще одну особенность, но практически никогда ее не замечаем. Эта вторая особенность названа «сборкой Уитни» и получается она при проецировании на плоскость поверхности, изображенной на рис. 9а.

Рис.9

а) Проекция «сборки Уитни» – второй тип гладкого отображения; б) Модель катастрофы при росте увлеченности и недостатке техники

На горизонтальной плоскости-проекции выделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием). Эта кривая делит горизонтальную плоскость на две части - меньшую и большую. Точки меньшей части имеют по три прообраза (в них проектируются три точки поверхности), точки большей части лишь по одному прообразу, точки кривой – по два. При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (из трех) сливаются и исчезают (в этом особенность – складка), при подходе к острию сливаются все три прообраза. Уитни доказал, что сборка структурно устойчива, то есть всякое близкое отображение имеет в подходящей близкой точке подобную же особенность - такую особенность, при которой продеформированное отображение в подходящих координатах в окрестности указанной точки записывается теми же формулами, какими записывалось исходное отображение в окрестности исходной точки.

Кроме того Уитни доказал, что всякая особенность гладкого отображения поверхности на плоскость после подходящего малого шевеления рассыпается на складки и сборки. Таким образом, видимые контуры гладких тел общего положения имеют точки возврата в местах, где проецирования имеют сборки и не имеют других особенностей: приглядевшись, мы можем найти эти точки возврата в чертах каждого лица или тела. Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, повсюду должны встречаться и их особенности. Поскольку теория Уитни дает значительную информацию об особенностях отображений общего положения, можно попытаться использовать эту информацию для изучения большого количества разнообразных явлений и процессов во всех областях естествознания. В этой простой идее и состоит вся сущность теории катастроф. Чтобы дать о них представление, мы воспроизводим принадлежащий английскому математику К. Зиману пример применения теории катастроф к исследованию деятельности творческой личности. Будем характеризовать творческую личность - например, ученого - тремя параметрами, называемыми «техника», «увлеченность», «достижения». По-видимому, между этими параметрами должна быть зависимость: представим поверхность в трехмерном пространстве с координатами (Т, У, Д). Спроектируем эту поверхность на плоскость (Т, У) вдоль оси Д. ???Для поверхности общего положения особенности – складки и сборки (по теореме Уитни). Утверждается, что сборка, расположенная так, как это показано на рис. 9б, удовлетворительно описывает наблюдаемые явления. Действительно, посмотрим, как в этих предложениях будут меняться достижения ученого в зависимости от его техники и увлеченности. Если увлеченность невелика, то достижения монотонно и довольно медленно растут с техникой. Если увлеченность достаточно велика, то наступают качественно новые явления. В этом случае достижения с ростом техники могут расти скачкообразно. Такой скачок можно наблюдать, если техника и увлеченность меняются вдоль кривой 1 в точке 2 (Рис.9а). Область высоких достижений, в которую мы при этом попадаем, обозначена на рисунке словом «гении». С другой стороны, рост увлеченности, не подкрепленный соответствующим ростом техники, приводит к катастрофе (на кривой 3 в точке 2), при которой достижения скачком падают, и мы попадаем в область обозначенную словом «маньяки». Поучительно, что скачки из состояния «гений» в состояние «маньяк» и обратно происходят на разных линиях. При достаточно большой увлеченности гений и маньяк могут иметь разные увлеченности и техники, различаясь лишь достижениями (и предысторией).

В отличие от описанного выше примера, применения теории катастроф к исследованию бифуркаций положений равновесия в теории упругости безупречно обоснованы. Во многих упругих конструкциях при одинаковых внешних нагрузках возможно несколько положений равновесия. ??? Рассмотрим, например, горизонтальную линейку, нагруженную весом стоящего на середине линейки груза. Концы линейки шарнирно закреплены. Наряду с положением равновесия, при котором линейка выгнута дугой вверх, наподобие моста.

При увеличении груза в некоторый момент происходит «катастрофа» или «хлопок»; линейка скачком переходит из одного состояние в другое. Теория особенностей применима к изучению таких хлопков, и ее предсказания прекрасно оправдываются в экспериментах.

Приложения описанного типа бывают более или менее обоснованными в зависимости от степени обоснованности исходных посылок. Например, в теории хлопков упругих конструкций и в теории опрокидывания кораблей предсказания теории полностью подтверждаются экспериментом. С другой стороны, в биологии, психологии и социальных науках (скажем, в приложениях к теории поведения биржевых игроков или к изучению нервных болезней) как исходные предпосылки, так и выводы имеют скорее эвристическое значение.

Математические модели катастроф указывают, однако, на некоторые общие черты самых разных явлений скачкообразного изменения режима системы в ответ на плавное изменение внешних условий. Например, устойчивый установившийся режим (например, режим работы реактора, экологический или экономический режим) обычно погибает либо столкнувшись с неустойчивым (причем в момент столкновения скорость конвергенции бесконечно велика), либо вследствие нарастания (опять бесконечно быстрого) самоподдерживающихся колебаний. Это объясняет, почему так трудно бороться с катастрофой, когда ее признаки сделались уже заметными: скорость ее приближения неограниченно возрастает по мере приближения к катастрофе. К катастрофической потере устойчивости может приводить оптимизация и интенсификация.

Управление без обратной связи всегда приводит к катастрофам, поэтому важно, чтобы лица и организации, принимающие ответственные решения, лично зависели от последствий этих решений. Агрессоры, развязывающие войны или межнациональную вражду, обычно считают, что они не будут нести личной ответственности за последствия. Например, стабилизация при замене жесткого плана обратной связью ядерно-лагерного уничтожения служит важным сдерживающим фактором. Ученые, исследовавшие модели гонки вооружений, еще в 60-х годах предсказали, что введение разделяющихся боеголовок повлечет потерю устойчивости стратегического равновесия. Они предсказали также, что если дипломатическим путем удастся благополучно миновать этот опасный период, то дальнейшее удорожание вооружения стабилизирует ситуацию и устойчивость может восстановиться.

Недавняя перестройка во многом объясняется тем, что начали действовать хотя бы некоторые механизмы обратной связи (боязнь личного уничтожения). Трудность проблемы перестройки связана с ее нелинейностью. Привычные методы управления, при которых результаты пропорциональны усилиям, тут не действуют, нужно вырабатывать специфически нелинейную интуицию, основанную, порой, на парадоксальных выводах нелинейной теории. Математическая теория перестроек была создана задолго до нынешней перестройки. Вот некоторые простейшие качественные выводы из этой теории применительно к нелинейной системе, находящейся в установившемся устойчивом состоянии, признанном плохим, поскольку в пределах видимости имеется лучшее, предпочтительно устойчивое состояние системы (рис. 5)

1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит к ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему состоянию увеличивается.

2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление системы изменению ее состояния растет.

3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое состояние, через которое нужно пройти для достижения лучшего состояния. После прохождения максимума сопротивления состояние продолжает ухудшаться.

4. По мере приближения к самому плохому состоянию на пути перестройки сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и как только самое плохое состояние пройдено, не только полностью исчезает сопротивление, но система начинает притягиваться к лучшему состоянию.

5. Величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее состояние, сравнима с финальным улучшением и увеличивается по мере совершенствования системы. Слабо развитая система может перейти в лучшее состояние почти без предварительного ухудшения, в то время как развитая система, в силу своей устойчивости, на такое постепенное, непрерывное улучшение неспособна.

6. Если систему удается сразу, скачком, а не непрерывно перевести из плохого устойчивого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше она сама собой будет эволюционировать в сторону хорошего состояния. С этими объективными законами функционирования нелинейных систем нельзя не считаться.

Выше сформулированы лишь простейшие качественные выводы. Теория доставляет также количественные модели, но качественные выводы представляются более важными и в то же время более надежными: они мало зависят от деталей функционирования системы, устойчивость которой и численные примеры могут быть недостаточно известными. ??? Наполеон критиковал Лапласа за попытку ввести в управление дух бесконечно малых.

Математическая теория перестроек – это та часть современного анализа бесконечно малых, без которой сознательное управление сложными и плохо известными нелинейными системами практически невозможно. Не требуется, однако, специальной математической теории, чтобы понять, что пренебрежение законами природы и общества (будь то закон тяготения, закон стоимости или необходимость обратной связи), падение компетентности специалистов и отсутствие личной ответственности за принимаемые решения приводит рано или поздно к катастрофе.

Признаки или флаги катастроф. Теория катастроф позволяет описать признаки самих катастроф, а также их предвестники, предупреждающие о грядущих потрясениях.

Для того чтобы развить интуицию в данной области, полезно представить простенькие модели с флагами катастроф. Такие модели нам знакомы – маятник и колонна (шпага). На их примере можно продемонстрировать все основные признаки поведения систем в окрестности точки катастрофы (Рис.10).

Будем постепенно раскачивать маятник, как раскачивают качели, добавляя энергию маленькими порциями. При достижении энергии большей некоторой критической Е*, позволяющей пройти верхнюю точку, движение качественно изменится, станет вращательным. Говорят: произошла катастрофа в точке Е* при изменении параметра энергии. Отметим сразу, что энергия Е - это внутренний параметр системы, связанный с ее начальным состоянием (скорость, с какой мы подтолкнули качели в некоторой исходной точке), но мы сделали его внешним.

Аналогично, при постепенном нагружении шпаги вертикальной силой F, ее сгиб произойдет не сразу, но по достижении критической величины нагрузки F*, после чего он увеличивается с увеличением силы (пока шпага не сломается). Сила здесь, безусловно, внешний параметр для системы.

Рис.10 На рисунке построены сценарии прохождения наших систем «маятника» и «шпаги», через точки катастроф Е*, F* при увеличении энергии или нагрузки, соответственно. В скобках даны пояснения для «шпаги». Мы видим типичную «вилку» альтернатив, бифуркацию.

В общем случае попасть в точку катастрофы, выйти на границы устойчивости можно двумя существенно разными способами: либо меняя внутреннее состояние системы - начальные данные, либо меняя внешние обстоятельства - внешние параметры. Так как любой кризис есть комбинация внешних и внутренних факторов системы, то и порождать и избегать его можно за счет тех и других. Если гора не идет Магомету, то Магомет идет к горе. Например, уйти от возникшей житейской проблемы (или создать) можно, если пересмотреть отношение к ней, выбрать иной контекст или «честно» ее преодолеть. «Человек есть мера всех вещей», - говорил Протагор. И в этом коренное отличие Восточной (интровертивной), традиционной культуры, от Западной (экстравертивной), техногенной при решении кризисных коллизий «Я – Мир».

Приведите несколько примеров различных решений ухода от точки катастрофы.

Теперь рассмотрим семь основных флагов-признаков катастроф. Не все из них ярко выражены, но все справедливы практически для любых систем и не зависят от типа и уровня их сложности.

1. Бимодальность. Смена качества – «старое» на «новое», никаких альтернатив «нового» в разовой катастрофе вы не заметите. Потенциально возможна мультимодальность, если существует несколько альтернатив выбора в точке катастрофы, но в конкретной катастрофе всегда реализуется лишь одна из них. Чтобы узнать остальные альтернативы, надо систему многократно повторно проводить через катастрофу, либо иметь ансамбль одинаковых систем, проходящих ее. Например, в физике - рассеяние пучка тождественных частиц на мишени, а в биологии – филогенез популяции. Уникальные события – катастрофы, каковых достаточно в истории нашей жизни и жизни общества, не допускают повторов, и человек так и не знает до конца, то ли он существо свободное выбирать, то ли все происходит по воле рока, и мы лишь думаем, что выбираем. Но социальный опыт подсказывает, что альтернативы есть. Не зря ведь существует поговорка: «История повторяется дважды, второй раз как фарс».

2. Пороговость (скачкообразность). Резкое, скачкообразное изменение в системе при плавном изменении ее параметров происходит в момент достижения параметрами некоторых критических значений. Так закипает вода, срабатывает датчик сигнализации автомобиля “на прикосновение”. ??? Микромир являет себя только через пороговые эффекты, т.к. макроприбор (пузырьковая камера, счетчик Гейгера) обязательно в неустойчивом, ждущем состоянии. Фальстарт тоже объясняется завышенной пороговой чувствительностью спортсмена и т.д.

Итак, если наблюдается катастрофа, то существует и пороговый управляющий параметр, им может быть и время развития системы. Именно этот случай обработки зрительной информации мозгом представлен на рис.11.

Рис. 11 Катастрофа восприятия сюжета, несущего два несовместимых образа. Через несколько секунд происходит скачек гештальта (смена образа-структуры). Но, согласно принципу бимодальности, никогда не видны сразу оба.

Множество подобных казусов восприятия можно найти в искусстве Мориса Эшера.

3. Нарушение симметрии. До прохождения точки катастрофы система имела симметрию в отношении выбора будущих альтернатив, их равноправие. В точке катастрофы выбор происходит в пользу одной из альтернатив и симметрия возможностей, равноправие нарушается. ??? Очень часто сопряжено и с нарушением пространственной симметрии, как в наших моделях. Первоначально шпага имеет вертикальную право-лево симметричную форму, сила тоже вертикальна, но в точке катастрофы происходит нарушение симметрии, выбор направления изгиба. Аналогично, колеблющийся маятник не выделяет правое или левое направление, но после катастрофы вращается или вправо или влево.

4. Дивергенция (неустойчивость по начальным данным). Малое изменение состояния системы перед точкой катастрофы может радикально повлиять на выбор альтернативы. То, что было рядом до катастрофы, окажется разделенным после нее. В модели «шпага» даже малое отклонение шпаги или силы от вертикали приведет к однозначному выбору изгиба, и системы, почти неразличимые вначале до критической нагрузки, могут четко различаться после катастрофы. Этот принцип, например, позволяет нам проводить дискретную классификацию непрерывного ряда объектов, производить отбор, разделение вещей.

5. Гистерезис. Память системы о произошедшей катастрофе, необратимость ее истории. Результат остается даже при исчезновении причины. Например, чтобы успокоить плачущего ребенка, потерявшего куклу, недостаточно только вернуть ему куклу. Конфликт не погаснет, если устранить лишь его повод. Термин «гистерезис» пришел из физики магнитных материалов, ферромагнетиков. Если намагнитить кусок железа внешним магнитным полем, он остается магнитом и в отсутствии первоначальной причины. Чтобы его размагнитить, вернуть в исходное состояние, необходимо будет приложить сильное поле противоположенного направления. Таким образом, в явлении гистерезиса утрата качества системой происходит при одном критическом значении внешнего параметра, а восстановление при другом. Говорят, что точки прямой и обратной бифуркации разнесены, не совпадают.

В случае со шпагой можно также наблюдать феномен гистерезиса, если поставить ее, изогнув под стол высоты меньшей, чем высота шпаги. Тогда большим боковым усилием можно изогнуть, прощелкнуть ее в противоположенную сторону, но после устранения усилия шпага не вернется в исходное состояние. Вмятина на пинг-понговом шарике или пластиковой коробочке со сметаной сама не всегда расправляется, надо вытолкнуть ее изнутри, нагреть шарик. Явления гистерезиса вообще характерны для механики оболочек: кузовов автомобилей, кровель и т.д.

Обычно гистерезис возникает в системах, способных организовать дальний порядок коллективного взаимодействия частиц: так намагниченное железо создает и поддерживает свое среднее поле за счет коллективного самоупорядочения вдоль него магнитиков-атомов железа, которые в нормальном состоянии направлены хаотично, их среднее поле равно нулю. Разрушить дальний порядок не так просто, нужны дополнительные усилия, а это означает, что система обладает памятью. Именно поэтому в компьютерах и бытовой технике широко используется память на магнитных носителях: диски, ленты.

Еще один пример – гистерезис восприятия.(Рис.12)

Рис. 12. Гистерезис восприятия. При движении вдоль зрительного ряда слева направо, фигура девушки появляется, распознается ближе к правому концу ряда. При движении в обратном направлении, справа налево, образ девушки «покидает» нас ближе к левому концу ряда и вновь возникает физиономия. То есть скачок восприятия в прямом и обратном направлениях не совпадают, образы «преследуют» нас некоторое время, зрительные центры мозга помнят о доминанте.

Аналогично законы, принятые без особого труда, изменить не просто после того, как они стали частью жизни людей; возник дальний порядок или традиция-память системы. Переписывая историю, надо понимать неотвратимость гистерезиса.

Гистерезис возникает далеко не всегда. Например, температура таяния и замерзания воды одна и та же; и вертикальная шпага выпрямляется, если устранить нагрузку. Гистерезис не наблюдается там, где дальний порядок отсутствует, имеется большая свобода, пластичность системы, большую роль играют шумы и флуктуации (напряженная вертикальная шпага в нашем примере). В жидкости, например, он редко возникает, поэтому ее закипание (сжижение) проходит при одной температуре. Но если жидкость очень чистая, нет примесей, растворенных газов, являющихся центрами конденсации и закипания, то можно наблюдать переохлажденный пар (ниже 100 градусов) и перегретую жидкость (выше 100 градусов), т.е. возникает гистерезис в области фазового перехода.

Флаги – предвестники. Последние два признак особенно важны, т.к. позволяют предсказывать катастрофу в непосредственной близости от нее. Они справедливы всегда.

6. Увеличение шумовых флуктуаций. Этот признак появляется незадолго до точки катастрофы, ярко проявляется в самой «точке» и быстро исчезает после самой катастрофы. Фактически он обнаруживает жизнь микроуровня, тот андеграунд, который выходит на поверхность, становится значимым в период кризиса системы. Мы подробно рассмотрели это явление в предыдущей главе (принцип динамической иерархии). При этом «умирающие» макропеременные «агонизируют» и ведут себя все более хаотически. На языке микроуровня это называется увеличением амплитуды флуктуаций, т.е. величины кратковременных отклонений от среднего значения, которые мы и наблюдаем как случайные колебания в системе – шум перед и во время катастрофы.

Пример тому - штангист с предельным весом над головой – хорошо знакомый нам образ: несколько секунд его бьет крупная дрожь, штанга водит спортсмена, пока он не находит устойчивую позицию – вес взят, катастрофа пройдена. Другие примеры - хаос сомнений перед принятием решения; волнение перед экзаменом; судорожные, беспорядочные движения теряющего равновесие; клокочущий кипяток и легкая непрозрачность закипающей воды. Всякий раз флуктуации становятся микроскопически наблюдаемыми в окрестности катастрофы.

Продолжите этот список примеров.

7. Замедление характерных ритмов (затишье перед бурей). Пожалуй, наиболее важный принцип, позволяющий заранее предсказать катастрофу. Его смысл прост: перед точкой катастрофы, точкой смены программы ???функционирование системы, происходит сворачивание, остановка этой программы. Если в ней присутствуют колебания, то они должны замедляться, если же колебаний нет, то их можно искусственно возбудить и наблюдать замедление. В точке катастрофы система уходит от состояния гомеостаза, становится более пластичной, менее упругой, ее собственные колебания становятся более мягкими, медленными, низкочастотными. Это прекрасно видно на примере нашей модели маятника (Рис.13): по мере увеличения размаха колебаний маятника его период растет и обращается в бесконечность в точке бифуркации, когда он застывает в перевернутом состоянии; по мере дальнейшей подкачки энергии уже во вращательное движение период уменьшается. В этой системе характерный период искать не надо, он очевиден. Но что за период в случае неподвижной шпаги? Его можно возбудить, постукивая по шпаге палочкой - будет слышен звенящий тон. Оказывается, период в точке катастрофы, момент изгиба будет максимальным по сравнению с другими состояниями, соответственно, тон звучания самым низким. Таким образом можно диагностировать степень нагруженности балок, колонн, опор.

Этот результат носит универсальный характер, не зависит от природы системы и звучит так: характерные, собственные ритмы системы замедляются по мере приближения к точке катастрофы. Более того, по степени замедления в теории катастроф удается определить тип будущей катастрофы, число альтернативных ее исходов, но это уже серьезная математика.

Е* E

(F*) (F )

Рис. 13 Замедление характерных ритмов в системах «маятник» и «шпага».

Приведем еще несколько примеров: экономическая стагнация перед кризисом, ??? периоды оборотов капитала увеличивается; затишье перед бурей, грозой, когда в природе характерные движения замирают, наступает кратковременный штиль; «пустота» в голове в момент выхода на экзамен (которая часто необоснованно пугает студента); психологическое затишье, испытываемое бойцом перед наступлением, спортсменом перед стартом; отсутствующие взгляд и поза задумавшегося человека (нет характерных, еле заметных быстрых движений глаз и тела человека, включенного в окружающий мир). Всё это многократно описано в литературе.

Продолжите ряд примеров сами.

Этот признак, видимо, является одним из наиболее мощных каналов, часто неосознанных, предупреждения об опасности для человека и животных, одним из каналов нашей интуиции, предвидения. Когда герой приключенческой повести подозревает засаду в лесу, произносится характерная фраза – «не нравится мне это место, слишком здесь тихо». Это не философская ирония, а опыт, говорящий о том, что мелкие животные, поющие птицы, создающие фон «собственных колебаний» лесной природы, отсутствуют, их что-то спугнуло.