§6. Методы математического моделирования. Начала нелинейного мышления.

Представление динамических систем. Как же конструктивно представить эволюцию системы? Прежде всего, надо найти адекватный язык описания. В науке такой язык используется более трехсот лет со времен Декарта. Естественно состояние динамической системы задавать самым простым объектом – точкой в некотором пространстве, причем координат у точки r = (x, y, z, e, f, …) – всего N, что определяет размерность пространства. Координаты есть не что иное, как числа, отвечающие минимальному набору свойств полностью описывающих систему в данный момент времени. По мере эволюции системы ее состояние будет меняться и, следовательно, точка будет двигаться в пространстве состояний по некоторой траектории. Закон же ее движения r(t) в пространстве состояний задается нелинейной динамической моделью, которую тоже надо уметь описывать.

В современной прикладной математике обычно принято моделировать реальность с помощью нелинейных дифференциальных уравнений, так называемая дифференциальная динамика. Смысл этого понятия прост, чего, к сожалению, нельзя сказать о методах решения.

Итак, говорят, что система задается дифференциальным уравнением, если скорость изменения состояния r(t) зависит, т.е. есть функция, от самого состояния r(t) в данный момент времени t:

r(t) = F (r (t), c), (*)

где с – ??? медленно по сравнению с характерными временными масштабами системы внешние управляющие параметры, вообще говоря зависящие от времени. Но если параметры управления меняются достаточно??? (адиабатические приближение), то их считают константами, а систему называют автономной, и время входит в уравнения только через координаты состояния. Эта ситуация наиболее изучена и в действительности распространена.

Этапы моделирования. Выделим теперь четыре основных этапа при создании любой работающей модели.

Во-первых, - нахождение полного перечня независимых координат-переменных для описания системы или выбор пространства состояний.

Например, в физике эти проблемы начали изучаться более двух тысяч лет назад, со времен Аристотеля, и, в конечном счете, удалось понять, что для описания динамики большинства физических замкнутых систем достаточным является задание пространственных координат и импульсов (скоростей) частиц или квазичастиц системы. В науках о жизни и, тем более гуманитарных науках, на сегодняшний день это вопрос нетривиальный, недостаточно изученный, в большой мере, зависящий от вкусов исследователя и, в конечном счете, определяющий дальнейший успех. В каких единицах измерять накал эмоций, творческие способности и вообще любые базовые характеристики психики или сознания личности и общества? Поэтому шкалы (оси координат) могут деформироваться, понятие расстояния носит условный характер и зачастую наиболее подходящим оказывается не образ метрического пространства (типа Эвклидова), а топологического, где упорядочение идет не по критерию «дальше-ближе», а по критерию «принадлежит-не принадлежит».

Второй фундаментальный этап – определение собственно уравнения динамики (*), т.е. определение вида функции F(r(t), c). В физике, например, это означает знание сил, действующих в системе. Задача непростая, если учесть, что великий Ньютон открыл закон убывания силы тяготения ???с расстоянием через тридцать лет неустанных трудов по изучению движения планет, перепробовав множество вариантов, даже с привлечением алхимических аналогий. И сегодня по-прежнему используются два пути: первый - скорее искусство, ??? привлечение соображений красоты, симметрии, гармонии, аналогии, перебора, в конце концов простоты (Ньютон предположил, что луна и яблоко падают на Землю, подчиняясь одному закону). Второй путь – решение обратной задачи, когда вид зависимости F подбирается по закону движения для одной частной траектории (в распоряжении Ньютона для этих целей уже были законы Кеплера для движения планет). Обычно оба подхода применяют параллельно. В гуманитарной сфере все осложняется тем, что само понятие закона, зависимости носит размытый нечеткий характер. Это скорее корреляции, тенденции, функции со случайными аргументами и значениями, поэтому так сложна формализация описания социогуманитарной сферы. Математика создала адекватный аппарат лишь в конце XX века. Следует также отметить, что наиболее изучен и часто встречается тип движения в малой окрестности устойчивого положения равновесия системы, когда функция F линейна (т.е. содержит координаты в первой степени), а само поведение носит характер гармонических либо затухающих колебаний.

Третий этап – решение уравнений динамики и качественный анализ результатов. В наше время прямые аналитические методы почти исчерпали свои возможности, всюду царит computer science, однако, задача интерпретации компьютерных результатов, грамотная постановка машиной задачи требуют предварительного качественного анализа поведения модели. Именно качественный анализ дифференциальных уравнений, восходящий к работам Пуанкаре, формирует язык синергетики, а в сочетании с мощным компьютерным экспериментом является сегодня основным инструментом анализа нелинейных систем.

И, наконец, четвертый этап – интерпретация экспериментальных результатов и корректировка модели. Любая модель есть лишь идеализация реальности, которая всегда богаче любого изображения. Эксперимент и теория, по мере увеличения точности наблюдения, могут когда-то разойтись. Практика показывает, что так оно в конце концов и происходит. Очередная модель есть лишь следующая ступенька постижения целостности мира. Надо понимать степень адекватности модели и допускать возможность ее уточнения в герменевтической процедуре диалога с природой, человеком, обществом. Эта методология пока разработана очень слабо, хотя она необходима для работы с быстроменяющимися системами в реальном времени (так называемое адаптивное моделирование) и востребуется при описании человекомерных систем. Например, история науки учит нас именно такому подходу в периоды парадигмальных революций в конкретных дисциплинах.

Консервативные и активно-диссипативные системы. О вечном возвращении, безудержном прогрессе и аттракторах-целях.

Все динамические системы (в этой главе речь будет только о дифференциальных системах) разбиваются на два обширных класса систем, принципиально отличных в своем поведении при больших временах наблюдения. Для их различения нам понадобится новое понятие – поток динамической системы: это одновременный перенос всех точек пространства состояний, взятых в момент t = 0 по траекториям, порождаемых данной динамической системой в любой другой момент времени. При этом пространство состояний в каждый момент времени отображается в самое себя, его области испытывают прихотливые деформации и могут даже вырождаться в точки (так называемые особые точки потока). Отметим, важно не свойство траекторий – они не могут пересекаться нигде, за исключением особых точек. Если все траектории из некоторой окрестности особой точки приходят в эту особую точку, ее принято называть точечным стоком (откройте пробку на дне ванны), если выходят из нее – источником, хотя бывают и смешанные ситуации. (Рис.14.)

Рис. 14

Потоки динамических систем, определяющих их состояние

В зависимости от того, сохраняет ли поток объем областей пространства состояний, и зависит наша классификация систем.

Итак, первый тип систем: если поток динамической системы сохраняет объем любой области пространства состояний – она называется консервативной. К таким системам относятся все замкнутые физические системы, для них это свойство эквивалентно закону сохранения энергии. Встречаются также и открытые системы, сохраняющие поток.

Ко второму типу систем относятся все остальные открытые системы: если поток динамической системы не сохраняет объем любой области пространства состояний – она называется активно-диссипативной. При этом области, в которых любые объемы под действием потока сжимаются, называются диссипативными, если же расширяются – активными. К таким системам относится большинство открытых систем, которые отдают, рассеивают энергию, вещество, информацию и получают их. Если преобладает процесс рассеяния, мы имеем дело с диссипативной системой, если получения – с активной системой. Например, все живые системы, в конечном счете, диссипативны, а процессы горения, взрыва – активны.

Для консервативных систем справедлива знаменитая теорема Пуанкаре о Возвращении. Если попытаться хоть частично соблюсти историческую преемственность в передаче культурного архетипа «вечного возвращения на круги своя», то, добавив имя ветхозаветного мудреца, теорему можно было бы смело назвать теоремой Пуанкаре- Экклезиаста.

Я думаю, в культуре, религии каждой эпохи, каждого народа нетрудно найти аналоги.

А теперь современная формулировка.

Теорема Пуанкаре о Возвращении – если траектория системы остается все время в некоторой ограниченной области, в которой поток системы сохраняет объемы (консервативен), то за конечное время система возвращается сколь угодно близко к произвольно выбранному исходному состоянию в этой области.

Итак, современный комментарий к Экклезиасту заключается в том, что возвращение, как правило, не совсем точное (Гераклит – «нельзя войти в одну реку дважды»), и время возвращения зависит от точности возврата, хотя оно происходит, действительно, бесконечно много раз (т.е. вечно).

Теорема имеет огромный философский мировоззренческий резонанс. Например, можно было объяснить и, в каком-то смысле, доказать возвращение к истокам в глобальных системах: цикличность рождения и гибели Вселенной, идею общего воскрешения и возврата в золотой Век и много других мифологем, но не удается (по крайней мере, этим методом), т.к. даже оценка времени возвращения в начальный объем молекул духов, испарившихся из открытого флакона в закрытой комнате, даёт чудовищное время ожидания, на много порядков превосходящее известный возраст Вселенной. Эти и подобные им аргументы приняты сегодняшним обществом при объяснении видимой необратимости большинства физических процессов с участием многих частиц (теплопроводимость, вязкость, диффузия); например, никто не видел самопроизвольного нагревания остывшего утюга или самопроизвольного разгона в болоте тела (разве что, со слов Барона Мюнхгаузена).

Однако консервативные системы воплощают для людей идеалы самодостаточности развития и законы сохранения, нарушения которых пока не найдены. Это своего рода маленькие Вселенные «на ладони», прозрачные и постижимые, но главное – вечные. Неслучайно мы воспитаны на образах – моделях консервативных систем: Солнечная система, спутник на орбите, вращение земли вокруг оси, маятник на хорошем подвесе или грузик на упругой пружине. Все они пущены в эксплуатацию одним актом творения, подобным библейскому; созданием начальных условий, после чего они предоставлены сами себе.

Человек, уподобляя себя творцу, расчленяет реальность на такие идеальные независимые вселенные для того, чтобы потом пытаться безуспешно склеить фрагменты. Однако эта иллюзия рассеивается, когда маятник на наших глазах медленно, но успокаивается, а ???спутники, говорят, падают и день увеличивается;??? и через миллиарды лет Луна упадет на землю, а Земля на солнце, но прежде «дольше века длится день» – сутки станут «вечностью» как на Меркурии (Луне) (он уже сейчас повернут лишь одной стороной к Солнцу (Земле) и почти не вращается вокруг своей оси), и это описание апокалипсиса, но законы физики, воплощенные в наших моделях с учетом реального взаимодействия со своим окружением. То есть модели оказались открытыми, расконсервированными и, ??? что для одних заметно сразу, для других не хватит и жизни человечества. Можно сказать, что реальная система может быть всегда смоделирована консервативной системой с заданной степенью точности, но лишь на время не больше некоторого, зависящего от типа системы и точности приближения. Фактически применение принципа наблюдаемости к идеализированным консервативным системам раскрывает их, т.е., строго говоря, замкнутых консервативных систем не бывает.

Итак, в консервативных, замкнутых системах помимо вечного возвращения справедливы законы сохранения энергии, импульса, а также справедливо второе начало термодинамики – энергия со временем растет, т.е. не может возникнуть упорядоченных структур.

Совершенно иначе ведут себя открытые системы, в них все эти свойства нарушаются. Для открытых систем с диссипацией, т.е. сжимающих поток или с рассеянием энергии справедлива другая замечательная теорема Пуанкаре-Бендиксона: если траектория системы остается в конечной области пространства состояний, то с течением времени она будет притягиваться к относительно простому, гладкому множеству, называемому аттрактором (притягивателем). Аттракторы окружают нас всюду. Вода стекает на дно ямки, маятник останавливается в низшей точке. Но вот в ходиках энергия подкачивается за счет опускающейся гирьки, и колебания незатухающие, аттрактор циклический, не точечный. Останавливая или опуская гирьку, можно менять тип аттрактора, управлять системой. Любой генератор работает на этом принципе, находясь на циклическом аттракторе. В общем случае состояния гомеостаза в живых системах есть функционирование на сложном аттракторе, который существует в силу метаболизма, обмена организма со средой энергией, веществом, информацией. В таком случае говорят о диссипативных структурах вдали от равновесия. ??? Наконец, психика, мозг человека нормально функционирует лишь при наличии внешней информации, раздражителей и погибает, деградирует в отсутствии информационного потока. Т.е. структуры мозга тоже информационные аттракторы достаточно сложной природы.

Все пространство состояний в диссипативной системе может быть поделено на области притяжения различных аттракторов (как политическая карта мира, внутри каждой области лишь один аттрактор - столица государства). Знать поведение системы несравненно проще, чем знать подробности переходных процессов. Именно так описывал природу Аристотель, и на новом уровне предлагает описать синергетика. Границы областей притяжения аттракторов – множества неустойчивости, сепаратрисы, траектории разбегаются от них (антиаттрактор или репеллер).

???Укажем каждого типа аттракторы можно ожидать в произвольных системах с малым числом переменных.

В системах с одной переменной аттрактор (репеллер) точка, поведение решения монотонное (плавное возбуждение, либо релаксация). Иные эффекты одновременные модели не ухватывают.

В двумерных системах возможны аналоги одномерных вариантов – чистый аттрактор или репеллер, но возможна и комбинация – седло (вдоль одного направления притяжение к точке, вдоль другого отталкивание), так стекает вода по седлу. Но помимо комбинаций, рождается принципиально новая возможность: предельный цикл (траектория наматывается на циклический аттрактор, замкнутую кривую). Итак, если необходимо моделировать колебательный процесс, то минимальное число переменных две.

В трехмерных системах возможны поведения всех описанных вариантов и их комбинаций, в частности, в многомерных колебательных системах траектории наматываются на торы. Однако принципиально новым открытием в поведении динамических систем было обнаружение странного аттрактора – аттрактора с непредсказуемыми элементами поведения. Трехмерные системы могут генерировать динамический хаос. ??? Впервые он был построен Э. Лоренцем при моделировании погоды. Именно непредсказуемость поведения траектории в некоторых областях этого аттрактора объясняет невозможность прогноза на продолжительный срок. Возможно, в этой непредсказуемости скрыта свобода воли и творчества (сегодня показано, что мозг генерирует энцифолограммы странного аттрактора). Быть может, в этом продуктивность тройственных систем, начиная от трех ветвей власти и кончая генетическим кодом.

Аттракторы в области своего притяжения подчиняют себе все процессы, являясь их целью, их дирижерами. ??? Со временем поведение различных траекторий в области притяжения становится единообразным, стирая их истории и индивидуальности. Переменные на аттракторе называются параметры порядка, т.к. они подчиняют и организуют поведение систем из данной области за достаточно большое время. Поэтому параметры порядка – переменные долгоживущие по сравнению с остальными переменными системы.

Модель хищник-жертва - одна из ярких иллюстраций двумерных нелинейных колебаний на циклическом аттракторе. ??? Впервые предложена Лотки и Вольтера в двадцатые годы в задаче саморегуляции видовой численности рысей и зайцев. Характерным свойством жертвы является ее способность размножаться в любых условиях, а также неизменная беззащитность и возможность быть съеденной хищником при встрече с ним. В таком случае уравнение динамики численности жертв:

Ж= аЖ – вЖХ,

где а – коэффициент размножения, в – коэффициент гибели и встречи, вероятность встречи пропорциональна численности хищника – Х и жертвы – Ж соответственно, скорость роста числа жертв – Ж. Уравнение для хищника получается с учетом того факта, что голодный хищник только умирает, а размножение возможно при обильном питании, которое вновь зависит от вероятности встречи Х и Ж.

Х = -гХ + дЖХ.

Это уравнение имеет стационарное решение Х = а/в, Ж = г/д, которое может перестать быть устойчивым, и система перейдет на циклическое поведение (Рис.15), например, при вмешательстве человека, эпидемии или природной катастрофе.

Рис. 15

Цикличность модели «хищник-жертва»

Во второй и четвертой фазе хищник и жертва одновременно находятся в сходных ситуациях, в первой и третьей «меняются» ролями. Такие отношения автоматически поддерживают колебание численности видов до тех пор, пока их амплитуда не очень велика, т.к. при малой численности возможна гибель вида за счет случайных флуктуаций.

Модель может быть перенесена в самые разные сферы жизни, таким колебаниям подчиняются: вылов рыбы, тренировки спортсмена, спрос и предложение, борьба с преступностью, экономические циклы, смена стилей в науке и искусстве, колебания моды, волны эпидемий и т.д.

В таких же отношениях находятся человек и биосфера, любой восполняемый ресурс и его использование. Западная цивилизация раскачала слишком много циклических процессов в природе и обществе. Современное осознание описанного простого механизма избавило бы человечество от многих ошибок, и мы бы не входили сейчас в апокалипсическую фазу глобального кризиса.

Попробуйте найти аналоги «хищников» и «жертв» в приведенных выше или своих примерах. Однако не стоит забывать, что эта модель объясняет далеко не всё, например, не описывает колебания успеха в состязании боксеров (жертва не дает сдачи).

Другим часто встречающимся нелинейным феноменом является процесс с положительной обратной связью, когда система уходит от состояния гомеостаза с ускорением, чем дальше, тем быстрее. Такой взрывной рост процессов в активных системах называется режим с обострением (Курдюмов С.П.). Система за конечное время должна достичь абсурдно больших значений своих характеристик, поэтому режим неожиданно прерывается и вступают в силу законы ограничения роста в системе. Наиболее ярким примером является рост народонаселения планеты (Капица С.П.), когда число людей N растет со скоростью пропорциональной квадрату числа людей (это свойство полового размножения вида – вероятность рождения пропорциональна вероятности парных столкновений особей).

Рис. 16

Состояния гомеостаза с ускорением N=a N×N, решения имеют вид гипербол N(t) ~ 1/(t-T), T – момент обострения.

Такой рост приводит к кризисным явлениям на границе возможностей существования системы, сопряжен с хаотическим, кризисным ее поведением. Сегодня это глобальный экологический и демографические кризисы. По таким же законам в режиме с обострением заполняется в начальной стадии экологическая ниша, затем проявляется перенаселенность, и рост популяции ограничивается.

Для человечества эта ниша – вся Земля, и нам на ней уже тесно.

Для грамотного решения глобальных (и не только) проблем необходимо научиться понимать законы развития кризиса, законы хаоса, т.е. надо научится мыслить нелинейно. Что знает синергетика о динамическом хаосе; хаосе, возникающим за счет неустойчивости поведения системы на первый взгляд вполне предсказуемой. Например, хаос, невозможность точного предсказания возникают уже в очень простых нелинейных системах: взаимодействие Солнце-Земля-Луна нельзя спрогнозировать точно на длительное время, уже три переменные в системе могут создать хаотическое поведение (таков хаотический – странный аттрактор Э. Лоренца, описывающий погодную динамику). Это объясняется тем, что в неустойчивой системе близкие состояния довольно скоро становятся далекими, траектории экспоненциально разбегаются. Время разбегания, за которое расстояние между близкими состояниями увеличивается в «е»-раз называется горизонтом предсказуемости r. Его смысл прост: если начальное состояние задано с некоторой точностью (задано не точкой, а малой окрестностью), то о траектории движения системы, точнее пучке близких траекторий, можно говорить в течение времени не более r, затем траектории разлетаются и о пучке, направлении движения говорить бессмысленно, нужен уже не траекторный, а вероятностный язык.

Динамический хаос «живет» на границах системы, на больших временах, поэтому подчас незаметен. Доля хаоса обязательно ???? присутствует в сложных системах как элемент разнообразия, творческой неопределенности, позволяющей системе адаптироваться к новым условиям. Например, кардиограмма ритма здорового сердца имеет помимо строго периодической и случайную компоненту, исчезновение которой так же опасно, как и ее избыток. Устойчивость биосферы и рынка в большой степени определяется видовым разнообразием или наличием широкого спектра мелких производителей. Энцифалограмма мозга бодрствующего человека описывается странным аттрактором, с хаотической компонентой, непредсказуемым потоком сознания, в состоянии эпилептического припадка эта компонента исчезает и аттрактор чисто циклический. Динамический хаос развивается в простых системах не сразу, а через несколько бифуркаций. Известны три универсальных сценария перехода к хаосу.

1. Перемежаемость – в системе сначала возникают вспышки хаоса в регулярной работе, а затем погружение в хаос.

2. Ускорение периодичности рождает хаос (если в системе произошло утроение периода колебаний системы, после чего наступает хаос).

3. Универсальность Фейгенбаума (череда удвоений периода колебаний системы, после чего наступает хаос).

Последний механизм часто возникает в неустойчивом рынке.

В хаосе возможны структуры, называемые фракталами, их нельзя описать аналитически, но можно построить пошагово – вырастить. Эти структуры окружают нас всюду: крона дерева, облака, кровеносная система, береговая линия, коралл и т.д.

Фракталы обладают свойством самоподобия, их малые фрагменты повторяют структуры целого, древний принцип «все во всем». Прогноз в хаосе обязательно должен производиться с учетом горизонта предсказуемости, т.к. обыденная жизнь и есть динамический хаос. Если ваш прогноз меньше горизонта, то он надежен, но не всегда эффективен (так живут маленькие дети и чувствуют себя счастливыми). Если совпадет с горизонтом – максимально эффективен (так живут успешные социально-активные люди). Если превышает горизонт предсказуемости, то, в лучшем случае, это маниловщина, в худшем – фрустрация психики и крах жизненных планов (к сожалению, так сейчас живут пожилые люди). Если в состоянии кризиса горизонт резко уменьшается, то все слои населения могут попасть в такую ситуацию.

Адаптация к кризису означает быстрое изменение глубины прогноза. Проблема самоорганизации системы есть проблема рождения порядка из хаоса. Сама фаза хаоса, кризиса может быть как продолжительной, так и весьма краткой по сравнению с горизонтом предсказуемости. В зависимости от этого можно выделить три стратегии в кризисе.

1. «Силовая», если кризис краткий (меньше горизонта предсказуемости) – можно разогнать систему (прицелиться) в нужную альтернативу (спортивные проход на байдарке через узкую полосу порогов). Так можно реструктурировать предприятия, вылечить начинающуюся простуду и т.д.

2. Затяжной кризис. «Вероятная» стратегия: система попадает в самые разные области, и мы можем изучить за долгое время вероятность ее появления в них. По завершении кризиса можно говорить о вероятности альтернатив-сценариев (любимая тема политологов), влиять на кризис силовым образом не удается, но можно менять правила игры и состояние системы тоже изменится.

3. Промежуточный, самый сложный вариант: известна продолжительность кризиса, или она соизмерима с горизонтом предсказуемости. ??? Здесь огромную роль играет личностное начало, интуиция, когда включить либо силовой сценарий, либо изменить правила игры.