2.4.2.2. Метод замены плоскостей проекций

Все преобразования чертежа существуют для того, чтобы решение задачи стало более упрощенным. Это происходит в тех случаях, когда геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций.

Суть преобразования плоскостей проекций:

1. Заданная геометрическая фигура не меняет своего положения в пространстве.

2. Вводится новая дополнительная плоскость перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций.

3. Новая дополнительная плоскость проекций вводится так, чтобы эта же геометрическая фигура в новой системе плоскостей стала занимать частное положение.

4. Каждая новая система плоскостей должна представлять собой систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей.

5. На новые плоскости геометрическая фигура проецируется ортогонально.

6. Расстояние от точки до незаменяемой плоскости сохраняется.

Рассмотрим на примере точки A, что происходит с ее проекциями при перемене плоскостей проекции (рис. 36).

Вводим новую фронтальную плоскость проекции V₁, перпендикулярно к горизонтальной плоскости проекции H. Плоскость V₁ пересекается плоскость H по прямой X₁, которая и будет новой осью проекций (рис. 36).

При этом Z_А остается постоянной, т. е. |а′a_Х| = |Aа| и |a′₁a_х1| = |Aa|.

Следовательно, |а′a_х| = |a′₁a_х1| (рис. 37).

Рис. 36. Пространственная модель метода замены плоскостей точки А

Рис. 37. Эпюр метода замены плоскостей точки А

А теперь рассмотрим основные задачи на преобразование отрезка прямой.

1. Преобразование комплексного чертежа так, чтобы отрезок прямой общего положения стал занимать положение отрезка прямой уровня.

Решение

Решение такой задачи позволяет не только найти натуральную величину отрезка прямой общего положения, но и определить угол наклона заданного отрезка прямой к основным плоскостям проекций в зависимости от конкретной поставленной задачи.

На рис. 38–39 показан отрезок прямой АВ, который в основной системе плоскостей V/H занимает общее положение.

В зависимости от того, какой угол наклона отрезка прямой, ∠α или ∠β необходимо найти по условию задачи, решение может пойти двумя путями.

1.1. Определение угла наклона отрезка прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций – ∠α. Для определения угла α отрезка прямой необходимо преобразовать отрезок прямой АВ во фронтальную прямую уровня. Характерная проекция фронтальной прямой уровня является горизонтальная проекция. Она всегда параллельна оси ОХ. Следовательно, для преобразования отрезка прямой АВ во фронтальную прямую уровня, новую ось проекций ОХ₁ проводим параллельно горизонтальной проекции прямой АВ.

Решение. Вводим дополнительную плоскость проекций V₁.

Условия ввода: перпендикулярно плоскости Н, параллельно отрезку АВ.

Порядок выполнения графической части задачи (рис. 38):

– на чертеже ось ОХ₁ проводим параллельно горизонтальной проекции отрезка прямой АВ на любом расстоянии от нее;

– в новой системе плоскостей H/V₁ из точек а и b проводим линии связи перпендикулярно новой оси ОХ₁;

– откладываем от оси ОХ₁ аппликаты Z_А и Z_В на линиях связи одноименных точек;

– соединяем построенные точки а′₁ и b′₁. Получаем новую фронтальную проекцию прямой АВ – |а′₁ b′₁|.

В результате преобразования отрезок прямой АВ стал фронтальной прямой уровня. Следовательно, на новой плоскости проекций V₁ отрезок прямой АВ проецируется в натуральную величину и угол, образованный проекцией |а'₁b′₁| с осью ОХ₁ равен углу наклона отрезка прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций – ∠α_АВ.

Рис. 39. Построение ∠β_АВ отрезка АВ Рис. 38. Построение ∠α_АВ отрезка АВ

1.2. Определение угла наклона отрезка прямой АВ к фронтальной плоскости проекций – ∠β.

Для определения угла β отрезка прямой общего положения необходимо преобразовать заданный отрезок прямой АВ в горизонтальную прямую уровня – горизонталь. Характерной проекцией горизонтали является фронтальная проекция, она всегда параллельна оси проекций. Следовательно, для преобразования отрезка прямой АВ в горизонталь, новую ось проекций ОХ₁ проводим параллельно фронтальной проекции прямой АВ (рис. 39).

Решение: вводим дополнительную плоскость проекций Н₁.

Условия ввода: перпендикулярно плоскости V, параллельно отрезку АВ.

Порядок выполнения графической части задачи (рис. 39):

– на чертеже ось ОХ₁ проводим параллельно фронтальной проекции отрезка прямой АВ на любом расстоянии от нее;

– в новой системе плоскостей V/H₁ из точек а и b проводим линии связи перпендикулярно новой оси ОХ₁;

– откладываем от оси ОХ₁ ординаты У_А и У_В на линиях связи одноименных точек;

– соединяем построенные точки а₁ и b_1. Получаем новую горизонтальную проекцию прямой АВ – а₁ b₁.

В результате преобразования отрезок прямой АВ стал горизонтальной прямой уровня. Следовательно, на новой плоскости проекций Н₁ отрезок прямой АВ проецируется в натуральную величину и угол, образованный проекций а₁b₁ с осью ОХ₁ равен углу наклона отрезка прямой АВ к фронтальной плоскости проекций – ∠β_АВ.