3.5.2.1. Определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций

по линиям наибольшего наклона

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций V и Н называются прямые, лежащие в данной плоскости и перпендикулярные соответственно к фронтали или горизонтали данной плоскости.

Линии наибольшего наклона можно также проводить перпендикулярно следам плоскости, т. к. фронталь плоскости параллельна фронтальному следу («нулевой» фронтали), горизонталь плоскости параллельна горизонтальному следу («нулевой» горизонтали) (рис. 75).

AB – линия наибольшего наклона (ската) к плоскости Н.

AC – линия наибольшего наклона к плоскости V.

∠α – угол наклона плоскости Р к плоскости проекций Н = α°.

∠β – угол наклона плоскости Р к плоскости проекций V = β°.

Рассмотрим на конкретных примерах способы определения углов наклона заданной плоскости к плоскостям проекций V и H.

Определение углов наклона заданной плоскости к плоскостям проекций V и H

способом прямоугольного треугольника

Задача 1. Определить угол наклона плоскости Р(АDE) к плоскости проекций Н.

Решение. Порядок выполнения графической части задачи (рис. 76):

1. В плоскости Р провести горизонталь Н (h', h).

2. Из вершины А, перпендикулярно горизонтали, построить отрезок АВ – линию ската, лежащую в этой плоскости; построение линии ската начинается с горизонтальной проекции при условии, что |ab| ⊥ h.

3. Определить действительную величину отрезка АВ методом прямоугольного треугольника, одним катетом которого будет горизонтальная проекция этого отрезка |ab|.

4. Искомым углом α является угол между гипотенузой |а_оb| треугольника (aba_o) и горизонтальной проекцией линии ската ab.

Рис. 75. Пространственная модель линий наибольшего наклона плоскости

Рис. 76. Определение ∠α плоскости ∆АЕD по линии ската

Задача 2. Определить угол наклона плоскости Р к плоскости проекций V.

Решение. Порядок выполнения графической части задачи (рис. 77):

1. В плоскости Р провести фронталь F(f ′, f).

2. Из вершины А перпендикулярно фронтали, провести отрезок |АС| – линию наибольшего наклона, лежащую в этой плоскости, построение линии наибольшего наклона начинается с построения фронтальной проекции при условии, что a′c′ ⊥ f ′.

3. Определить натуральную величину отрезка [АС] методом прямоугольного треугольника, одним катетом которого является его фронтальная проекция.

4. Искомым углом β является угол между гипотенузой а_ос′ треугольника a′c′a_o и фронтальной проекцией a′c′.

Рис. 77. Определение ∠β плоскости ∆EAD по линии наибольшего наклона

Задача 3. Построить равнобедренный треугольник с вершиной в точке С и основанием, равным высоте треугольника по величине, лежащим на прямой (AD). Определить углы наклона плоскости треугольника к плоскостям проекций V и Н. А(10; 10;15); С(30; 40; 30); D(60; 30;15); (рис. 78–80).

Данная задача состоит из нескольких небольших задач

Решение

1. Построение проекций треугольника.

2. Определение углов наклона плоскости треугольника к плоскостям проекций V и Н.

Порядок выполнения графической части задачи:

1. Построение проекций треугольника.

1. По заданным координатам строим фронтальные и горизонтальные проекции точек А, С и D. Через точки А и D проводим проекции прямой AD соответственно плоскостей проекций. Согласно исходных данных (АD) является горизонтальной прямой уровня (рис. 78).

2. Ввиду того, что (AD) || Н, построение проекций высоты треугольника начинаем с горизонтальной проекции (на основании теоремы о прямом угле), проводим [с) ⊥ (а d). Луч [c) при пересечении с (аd) дает точку k. Фронтальная проекция высоты c′k′ выстраивается по проекционной зависимости. Определяем длину |CK|.

3. Методом прямоугольного треугольника, за один катет принимая горизонтальную проекцию (сk) определяем длину |CK|. Она равна гипотенузе kc_o, |CK| = |kc_o| = н.в.

4. Строим горизонтальную проекцию основания треугольника op = |CK| на проекции отрезка AD, откладывая его без искажения и учитывая, что основание треугольника в точке К делится пополам. Получаем точки о и р. Фронтальная проекция основания треугольника выстраивается по проекционной зависимости.

5. Строим проекции искомого треугольника cop и с′о′р′.

2. Определение углов наклона плоскости треугольника к плоскостям проекций V и Н.

2.1. Определяем угол наклона плоскости ΔРОС к плоскости проекций Н.

Анализируя данные (рис. 78), отмечаем, что высота ΔРОС – отрезок СК – является линией ската плоскости треугольника к плоскости проекций Н, т. к. ck ⊥ ad, а основание ОР || H, т. е. является горизонталью плоскости треугольника. Следовательно, угол между cok и [ck] является углом наклона α данной плоскости к плоскости проекций Н.

Рис. 78. Определение ∠α плоскости ∆ОРС по линии ската

2.2. Определяем угол наклона плоскости ΔРОС к плоскости проекций V по линии наибольшего наклона.

Угол наклона плоскости ΔРОС к плоскости проекций V определяется при помощи линии наибольшего наклона MN, перпендикулярной к фронтали треугольника, [MN] ⊥ F.

Ход решения (рис. 79):

2.2.1.Через вершину треугольника Р проводим фронталь F.

Рис. 79. Определение ∠β плоскости ∆ОРС по линии наибольшего наклона

2.2.2. В плоскости ΔРОС строим прямую MN – линию наибольшего наклона, где фронтальная проекция m′n′ ⊥ f′, а горизонтальная проекция mn строится по проекционной зависимости.

2.2.3. Определяем длину отрезка [MN] методом прямоугольного треугольника, построенного на фронтальной проекции, m′n′ – является его натуральной величиной.

2.2.4. В прямоугольном треугольнике угол между m′n′ и n′m_o является углом наибольшего наклона ΔРОС к плоскости проекций V, т. е. ∠β.

Итак, возвращаемся к условию задачи и на основе вышерассмотренного материала решаем эту задачу на одном чертеже.

Задача 4. Построить равнобедренный треугольник с вершиной в точке С и основанием, равным высоте треугольника и лежащим на прямой AD. Определить углы наклона плоскости треугольника к плоскостям проекций V и Н.

Решение. Порядок выполнения графической части задачи:

1. Строим проекции прямой AD, (AD) || V (рис. 80).

2. Строим проекции высоты треугольника, начиная с фронтальной – c′k′⊥ a′d′, горизонтальная проекция высоты выстраивается по проекционной принадлежности.

3. Строим основание треугольника OP: o′p′ = c′k′, достраиваем горизонтальную и фронтальную проекции искомого ΔСОР.

4. ΔСОР ^ V = ∠β, СК – линия наибольшего наклона к плоскости V.

5. ΔСОР ^ Н = ∠α, PE – линия ската к плоскости Н.

Рис. 80. Полное решение задачи

Определение углов наклона плоскости общего положения

к плоскостям проекций методом замены плоскостей проекций

1. Определение угла наклона плоскости общего положения

к горизонтальной плоскости проекций

Задача. Дана плоскость угла α заданной плоскости. Необходимо преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость ΔABC стал фронтально проецирующей плоскостью в новой системе плоскостей.

Порядок выполнения графической части задачи:

1. Вводим новую плоскость проекции V₁: V₁ ⊥ H₁, V₁ ⊥ ΔABC.

2. Проводим в плоскости ΔABC горизонталь DC.

3. Ось проекции X₁ – горизонтальный след плоскости V₁ – проводим перпендикулярно прямой cd на любом расстоянии от точки d.

4. Проводим из точек a, b и d линии связи к новой оси X₁.

5. Откладываем от оси X₁ по линиям связи Z_С, Z_А, Z_В. Поскольку a' принадлежит оси X, следовательно, a'₁ принадлежит OX₁.

На новую плоскость проекций V₁ плоскость ΔABC отобразилась в впрямую линию, т. е. стала фронтально проецирующей плоскостью. На новой плоскости проекций V₁ угол наклона плоскости ΔABC к горизонтальной плоскости проекций α отображен без искажения (рис. 81).

Рис. 81. Определение угла ∠α плоскости ∆АВС

2. Определение угла наклона плоскости общего положения к фронтальной плоскости проекций методом замены плоскостей проекций

Задача. Дано: плоскость ΔABC – плоскость общего положения.

Решение

Для определения угла β заданной плоскости необходимо преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость ΔABC стал горизонтально проецирующей плоскостью в новой системе плоскостей.

Порядок выполнения графической части задачи:

1. Вводим новую плоскость проекции Н₁: H₁ ⊥ V, Н₁ ⊥ ΔABC.

2. Проводим в плоскости ΔABC фронталь DC.

3. Ось проекции X₁ – фронтальный след плоскости Н₁, проводим перпендикулярно прямой c′d′ на любом расстоянии от точки с′.

4. Проводим из точек а′, b′, и d′ линии связи к новой оси X₁.

5. Откладываем от оси X₁ по линиям связи У_С, У_А, У_В. Поскольку a′ принадлежит оси X, a₁ принадлежит OX₁.

На новую плоскость проекций Н₁ плоскость ΔABC отобразилась в прямую линию, т. е. стала горизонтально проецирующей плоскостью. На новой плоскости проекций Н₁ угол наклона плоскости треугольника АВС к фронтальной плоскости проекций β отображен без искажения (рис. 82).

Рис. 82. Определение ∠β плоскости ∆АВС