1.4. Определение расстояний от точки до плоскостей проекций

Отметим еще некоторые особенности проецирования точки.

Одна из задач начертательной геометрии заключается в том, чтобы по плоскому изображению представлять предмет в пространстве. Применительно к эпюру точки это означает, что посмотрев на эпюр, необходимо решить задачу: на каком расстоянии точка находится от плоскостей проекций V, H, W, к какой плоскости проекций V, H или W точка ближе, лежит ли точка на плоскости проекций. Рассматривая параллелепипед проецирования (рис. 4), видим:

1. Расстояние от точки до плоскости проекций Н (П₁) равно расстоянию фронтальной ее проекции до оси Х, |А, Н| = |а′а_X|, т. е. расстояние от точки до горизонтальной плоскости проекций Н определяется координатой Z (аппликатой) и называется высотой точки.

2. Расстояние от точки до плоскости проекций V (П₁) равно расстоянию горизонтальной ее проекции до оси Х, |А,V| = |аа_X|, т. е. расстояние от точки до фронтальной плоскости проекций V определяется координатой Y (ординатой) и называется глубиной точки.

3. Расстояние точки до профильной плоскости проекций W (П₃) определяется координатой Х (абсциссой) и называется широтой точки.

4. Если проекции точки одинаковые, то точка равноудалена от плоскостей проекций.

5. Если одна из проекций точки лежит на оси проекций, то точка принадлежит какой-либо из плоскостей проекций V, Н или W в зависимости от оси проекций, а сама пространственная точка будет совпадать с одной из проекций (рис. 8):

– если точка лежит в горизонтальной плоскости проекций, то фронтальная проекция этой точки всегда лежит на оси Х, т. к. высота точки (координата Z = 0).

– если точка лежит во фронтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция этой точки всегда лежит на оси Х, т. к. широта точки (координата Y = 0).

6. Если две проекции точки лежат на оси проекций, то и сама точка принадлежит оси проекций.

Рис. 8. Точка А ∈ плоскости V; точка В ∈ плоскости H;

точка D ∈ плоскости W; точка C ∈ оси X

Рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задача 1. Дан эпюр точки А. Определить расстояние от точки А до плоскостей проекций V и Н (рис. 9а).

Замеряем на эпюре длину отрезка а′а_X: |а′а_X| = 25 мм.

Расстояние от точки А до плоскости проекций Н равно отрезку |А, Н| = |а′а_X| = 25 мм.

Аналогично: |А, V| = |аа_X| = 20 мм.

Задача 2. Дан эпюр точки В. Определить, к какой плоскости проекций данная точка ближе (рис. 9б).

Рассматривая эпюр, видим, что |b′b_X| < |bb_X|.

Следовательно, точка В ближе к плоскости проекций Н, т. к. |b′b_X| = |В, Н|.

Задача 3. Определить положение точки С относительно плоскостей проекций V и Н (рис. 9в).

Горизонтальная проекция точки С лежит на оси Х, значит точка С принадлежит плоскости проекций V и удалена от плоскости проекций Н на 33 мм. Эти и аналогичные задачи рекомендуется решать, не используя рисунка пространственной модели октантов, что способствует развитию пространственного воображения:

б

в

а

Рис. 9. Определение расстояний от точки до плоскостей проекций:

а – от точки А; б – от точки В; в – от точки С