3.2.2. Плоскость общего положения

Плоскость общего положения – это плоскость, не перпендикулярная ни одной плоскости проекций (рис. 57). Свойство чертежа:

1. Ни одна из проекций плоскости общего положения не является прямой.

2. Фигура, лежащая в плоскости общего положения, отображается на плоскости проекций с искажением.

а

б

в

Рис. 57. Плоскость общего положения:

а – заданная следами плоскости Р; б – заданная ΔАВС; в – параллельными прямыми АВ и СD

3.3. Прямая и точка в плоскости

Построение проекций точки и прямой, принадлежащих заданной плоскости, выполняется на основании известных аксиом:

1. Через две любые различные точки можно провести только одну прямую.

2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат заданной плоскости.

Решение этих задач основывается на известных положениях геометрии:

1. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой этой плоскости.

2. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости, или через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости или ей параллельной.

По свойству принадлежности точки прямой – ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой, принадлежащей плоскости.

Построение любой прямой в плоскости

Для этого достаточно (рис. 58а) на проекциях плоскости взять проекции двух произвольных точек, например: m', m и n', n, и через них провести проекции m'n', mn прямой MN. На рис. 58б проекции b'n', bn прямой ВN проведены параллельно проекциям а'с', aс стороны АС треугольника, заданного проекциями а'b'с', abc. Прямая ВN принадлежит плоскости треугольника ABC.

а

б

Рис. 58. Построение прямой в плоскости:

а – через две произвольные точки М и N; б – параллельно прямой АС

Построение недостающей проекции точки, принадлежащей заданной плоскости

Задача. Построить в плоскости, заданной треугольником DЕС, недостающие проекции точки А и точки В, принадлежащих плоскости заданного треугольника (рис. 59).

Рис. 59. Условие задачи Рис. 60. Построение в плоскости точки

Решение

Анализируя графическое условие задачи, видим, что точка А принадлежит прямой DЕ. Следовательно, по свойству принадлежности, ее горизонтальная проекция тоже принадлежит горизонтальной проекции прямой DE. Проводим линию связи из фронтальной проекции точки А до пересечения с горизонтальной проекцией прямой DЕ. Полученная точка будет горизонтальной проекцией точки А. Аналогично строим фронтальную проекцию точки В (рис. 60).

Задача. Построить фронтальную проекцию точки Е, лежащей в плоскости, заданной двумя параллельными прямыми AB и CD.

Решение

На рис. 61 плоскость задана проекциями a'b' || c'd', ab || cd. Принадлежащая этой плоскости точка E задана горизонтальной проекцией e. Следует достроить фронтальную проекцию точки Е. Ее строят с помощью вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости и проходящей через точку D. Такое действие называется привязкой точки к плоскости. Для этого проводят через горизонтальную проекцию d и е прямую. Отмечают точку пересечения этой прямой с прямой ab – точку n. Строят фронтальную проекцию прямой n'd' и по линии связи отмечают на ней фронтальную проекцию точки Е – е' (рис. 62).

Рис. 61. Условие задачи Рис. 62. Построение недостающей

проекции точки

Проверка принадлежности точки плоскости

Задача. Определить принадлежность точки А плоскости, заданной треугольником DFE

(рис. 63).

Решение

Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую, принадлежащую плоскости. Предполагают, что заданная точка принадлежит заданной плоскости. Следовательно, она принадлежит любой прямой, лежащей в заданной плоскости. Поэтому точку А «привязываем» к плоскости треугольника прямой. Для этого на горизонтальной проекции проводим прямую через точку а и точку b. Отмечаем точку пересечения проведенной прямой со стороной dc – точку b. Строим фронтальную проекцию полученной прямой b'e'. Анализируя чертеж, видим, что фронтальная проекции точки А не принадлежит прямой ВЕ. Следовательно, заданная точка А не принадлежит заданной плоскости треугольника DEC. (рис. 64).

Рис. 63. Условие задачи Рис. 64. Проверка принадлежности

точки плоскости