1.5. Построение точки по координатам
Плоскости проекций V, H, W принимаются за координатные плоскости, а оси проекций X, Y, Z за координатные оси как положительные, так и отрицательные (рис. 10).
Положение точки в пространстве задается тремя координатами – X, Y, Z. Проекции точки задаются двумя координатами: а(х, y), а′(х, z), а′′(y, z).
Зная направление для положительного и отрицательного значений координатных осей, принимая во внимание свойства проекций точки, можно построить проекции точки по координатам. Рассмотрим несколько задач на эту тему.
Задача. Построить проекции точки А(–10; 40; –30) (рис. 10).
Рис. 10. Построение проекций точки А по координатам
Для построения фронтальной проекции а′ точки А справа от точки О на оси Х откладываем значение Х = –10. Вниз от точки О по направлению оси Z откладываем значение Z = –30. Пересечением перпендикуляров из точек аX и аZ, восстановленных к соответствующим осям Х и Z, определяем точку а′.
Для построения горизонтальной проекции а точки А по направлению оси Y вниз от точки О откладываем значение y = – 40. Через точку аY проводим перпендикуляр до пересечения с линией связи а′аX. Отмечаем точку а – горизонтальную проекцию точки А. По расположению фронтальной и горизонтальной проекций точки А определяем, что точка А расположена в VΙΙΙ октанте.
Для построения профильной проекции а′′ точки А через ее фронтальную проекцию а′ проводим линию связи а′аZ и на ней, вправо от точки аZ, откладываем значение y = 40. Отмечаем точку а′′ – профильную проекцию точки А.
Задача. Построить проекции точек по координатам и указать октант, в котором находится каждая из них.
Исходные данные: А(10; –30; 40), В(70; 50; –10), С(20; 15; 0), D(60; 35; 40), Е(50; –10; –25).
Решение. Порядок выполнения графической части задачи (рис. 11):
1. Проводим оси координат Х, Y, Z. Указываем положительные и отрицательные их направления.
2. Построение точек выполняем в масштабе 1:1.
Точка А (10; –30; 40):
Фронтальную проекцию а′ точки А определяем по координатам Х, Z; по оси Х откладываем 10 мм, по оси Z – 40 мм.
Горизонтальную проекцию а точки А определяем по координатам Х, (–Y), расстояние 30 мм откладываем по оси (–Y), совпадающей с положительным направлением оси Z.
Профильную проекцию а′′ точки А определяем по координатам (–Y), Z. В этом случае расстояние 30 мм откладывается по оси (–Y), совпадающей с положительным направлением оси Х. Следовательно, точка А находится во ΙΙ октанте.
Точка В (70; 50; –10):
Строим фронтальную проекцию b′ (Х = 70; Y = –10) точки А. Расстояние 10 мм нужно отложить на отрицательном направлении оси Z. Уточните: фронтальная b′ и горизонтальная b проекции точки В будут расположены на линии связи ниже оси Х. Профильная проекция b′′ точки В располагается справа от оси Z и ниже оси Х. Анализируя знаки координат (+ + – ) и расположение проекций точки, делаем вывод – точка В находится в ΙV октанте.
Точка С (20; 15; 0):
При построении этой точки очевидно, что фронтальная проекция с′ точки С лежит на оси Х, а ее профильная проекция а′′ лежит на оси Y, совпадающей с отрицательным направлением оси Х. Удаление точки С от плоскости проекций Н равно нулю (y = 0), следовательно, точка С лежит в плоскости Н, на границе Ι и ΙV октантов.
Точка D (60; 35; 40):
Все значения координат положительные, следовательно, точка D находится в Ι октанте.
Точка Е (50; –10; –25):
При отрицательных значениях Y и Z точка располагается в ΙΙΙ октанте. Проекции такой точки располагаются:
фронтальная проекция е′ точки Е располагается ниже оси Х, слева от оси Y;
горизонтальная проекция е точки Е располагается выше оси Х, слева от оси Z;
профильная проекция е′′ точки Е располагается слева от оси Z, ниже оси Х.
Вывод. Положение точки в пространстве вполне определено, если известны три ее координаты или две любые ортогональные проекции. Как следствие из этого – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки можно всегда построить недостающую ее третью ортогональную проекцию.
Рис. 11. Построение точек по координатам с указанием октантов
Рассмотри построение точки по двум заданным ортогональным проекциям.
Задача. По двум заданным ортогональным проекциям построить недостающую проекцию точки В (рис. 12).
Рис. 12. Графическое условие задачи
Решение. Анализируем графическое условие задачи: заданы фронтальная и профильная проекции точки В. Это значит, заданы все три координаты точки В. Следовательно, необходимо построить ее горизонтальную проекцию.
Порядок выполнения графической части задачи:
1. Для построения горизонтальной проекции точки В необходимо знать ХВ и УВ. Эти координаты находим на чертеже.
2. Замеряем УВ = bZ b′′ и откладываем эту координату вдоль линии связи от оси ОХ от точки bХ.
3. Строим горизонтальную проекцию точки В (рис. 13).
Рис. 13. Построение недостающей проекции точки В