2.4. Основные задачи на прямую
2.4.1. Деление отрезка в заданном отношении
Задача. На отрезке прямой АВ построить точку С, которая делит данный отрезок в отношении 2:3 от точки A (рис. 28).
Решение. Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекция этой точки делит одноименные проекции отрезка в том же отношении. Следовательно, чтобы разделить отрезок прямой в заданном отношении, достаточно разделить в этом же отношении одну из проекций данного отрезка.
Порядок выполнения графической части задачи:
Выбираем любую из проекций отрезка АВ, например, фронтальную – a′b′.
Из точки b′ проводим луч под любым углом к отрезку a′b′. Так как отрезок АВ необходимо разделить в отношении 2:3, то равных частей на отрезке должно быть отложено 5 (2+3).
Задаемся произвольным единичным отрезком и откладываем от точки b′ вдоль луча пять равных отрезков. Последнюю пятую точку обозначаем Ао и соединяем с точкой а′.
На отрезке |Аob′| отсчитываем от точки Ao два равных отрезка. Получаем точку Со, которая делит отрезок Аоb′ в отношении 2:3.
Параллельно отрезку |a′Ао| через точку Со проводим прямую. Получаем на отрезке a′b′ точку с′, которая делит отрезок a′b′ в отношении 2:3.
Горизонтальную проекцию точки С (с) находим по свойству принадлежности: проводим из точки с′ линию связи до пересечения с горизонтальной проекцией отрезка прямой АВ (аb).
Построенная проекция точки С делит заданный отрезок прямой АВ в отношении 2:3.
Рис. 28. Деление отрезка в заданном отношении
2.4.2. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и определение углов наклона ее к плоскостям проекций
На плоскости проекций отрезок прямой общего положения проецируется с искажением. Для решения метрических задач необходимо определить натуральную величину отрезка прямой или угол наклона его к основным плоскостям проекций. Существует несколько методов определения натуральной величины отрезка прямой.
2.4.2.1. Способ прямоугольного треугольника
Установлена зависимость между действительной (натуральной) величиной отрезка и его проекциями. На основании этой зависимости выведено правило прямоугольного треугольника, из которого следует, что для определения действительной величины отрезка прямой, на эпюре достаточно построить прямоугольный треугольник у которого за один катет берется проекция отрезка (фронтальная или горизонтальная), а другим катетом является величина отрезка, равная разности расстояний концов этого отрезка до одной из плоскостей проекций V или Н. Действительной величиной отрезка является гипотенуза построенного треугольника, а угол между гипотенузой и проекцией этого отрезка является углом наклона его плоскости к плоскостям проекций V или Н. В зависимости от того, на какой из проекций выполняется построение, именно, к той плоскости проекций определяется угол наклона плоскости треугольника.
Если необходимо определить ∠α отрезка прямой, прямоугольный треугольник строят, используя горизонтальную проекцию отрезка
Если необходимо определить ∠β отрезка прямой, прямоугольный треугольник строят, используя фронтальную проекцию отрезка.
Если по условию задачи требуется определить только натуральную величину отрезка общего положения, то для решения задачи можно использовать любую из проекций.
Рассмотрим несколько типовых задач, связанных с использованием этого метода.
Задача 1. Определить длину отрезка прямой АВ и угол наклона его к горизонтальной плоскости проекций Н (∠αАВ) (рис. 29).
Решение. Необходимо проанализировать графическое и словесное условие задачи:
1. Графический анализ проводится относительно осей проекций: отрезок прямой АВ занимает общее положение, т. к. ни одна проекция отрезка прямой не является характерной (параллельной или перпендикулярной оси Х). Следовательно, ни одна проекция отрезка не дает нам натуральной величины данного отрезка непосредственно на чертеже.
2. Словесное условие говорит о том, что дополнительные построения необходимо выполнять на горизонтальной проекции отрезка, т. к. требуется найти угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций – ∠αАВ. В этом случае прямоугольный треугольник нужно строить, принимая за один его катет горизонтальную проекцию аb.
Далее, графические построения выполняются по приведенному ниже плану.
Порядок выполнения графической части задачи:
1. Проводим луч [а) ⊥ [аb] (либо из точки b).
2. Находим величину второго катета – |аАо| = ZА – ZВ = ∆Z (разность удаления концов отрезка до горизонтальной плоскости проекций).
3. Гипотенуза Аоb равна натуральной величине отрезка АВ |AB| = |Aob| = 40 мм.
4. Угол между гипотенузой |Aob| и проекцией |ab| является углом наклона отрезка АВ к плоскости проекций Н – αАВ.
Рис. 29. Определение ∠αАВ Рис. 30. Определение ∠βСD
Задача 2. Определить угол наклона отрезка СD к плоскости проекций V (рис. 30).
Решение. Анализ условия задачи аналогичен задаче, рассмотренной выше.
При определении угла наклона отрезка прямой к плоскости проекций V прямоугольный треугольник нужно строить, принимая за один его катет фронтальную проекцию данного отрезка, а величина второго катета представляет собой разность расстояний концов отрезка до фронтальной плоскости проекций, т. е. разница координат Y.
Порядок выполнения графической части задачи:
1. Проводим луч [c') ⊥ [c'd'] (либо из точки d').
2. Откладываем на луче [c') величину второго катета |c'Co| = YС – YD = ∆Y.
3. Гипотенуза Cod' с отрезком c'd' образует ∠β, являющийся углом наклона [CD] к плоскости проекций V – ∠βСD.
Задача 3. Построить прямую АВ, найти ее следы с плоскостями проекций V и H, определить длину отрезка АВ и углы наклона его к плоскостям проекций V и Н (рис. 31).
Исходные данные: А(10; – 30; 40); В(70; 50; – 10).
Решение.
1. По координатам построить фронтальные a', b' и горизонтальные a, b проекции точек А и В.
2. Построить фронтальную a'b' и горизонтальную ab проекции отрезка прямой АВ. Удобно для дальнейших построений обозначить отрезок прямой АВ буквой L.
3. Находим следы прямой L, как было указано выше (рис. 31):
l' ∩ V = LV, l ∩ Н = LH.
Через точку LV прямая уходит во ΙΙ октант, а через точку LH она уходит в ΙV октант.
4. Определяем длину |AB| и углы наклона к плоскостям проекций α и β (методом прямоугольного треугольника).
Получаем:
|Bob'| = YB – (–YА) = YA + YB; |Bob| = ZА – (–ZВ) = ZА + ZВ; |AB| = |a'Bo| = |aBo| = 114 мм
∠a' = L ^ V = βo; ∠a = L ^ H = αo
Рис. 31. Решение задачи 3
Задача 4. Построить горизонтальную проекцию отрезка АВ, если угол наклона его к фронтальной плоскости проекций равен 30º (рис. 32).
Рис. 32. Решение задачи 4 Рис. 33. Решение задачи 5
Решение. Анализируем графическое условие задачи:
Для решения этой задачи воспользуемся методом прямоугольного треугольника. Дана фронтальная проекция отрезка АВ. В прямоугольном треугольнике эта проекция будет являться катетом, второй катет выстраивается перпендикулярно проекции. Угол наклона отрезка к плоскости проекций (в данном случае фронтальной) располагается между катетом (проекцией) и гипотенузой треугольника.
Порядок выполнения графической части задачи:
1. Строим прямоугольный треугольник по катету и острому углу. Из точки а′ восстанавливаем перпендикуляр к проекции отрезка. Из точки b′ проводим луч под углом 30° к заданной проекции.
2. Строим гипотенузу так, чтобы угол между катетом и гипотенузой составлял 30°; ∠β = 30°. Гипотенузу продляем до пересечения со вторым катетом. Величина второго катета является разностью расстояний конечных точек отрезка до плоскости (в нашем случае горизонтальной) и обозначается как ΔY.
3. На горизонтальной плоскости проекций от точки а проводится линия равных ординат параллельно оси Х до пересечения с линией связи от точки b′ (фронтальной проекции точки В) и далее, от точки пересечения, вдоль линии связи вверх или вниз откладывается величина ΔY и определяется положение точки b (горизонтальной проекции точки В). Соединив точки a и b, получим горизонтальную проекцию отрезка АВ.
В связи с тем, что горизонтальная проекция точки В может занимать одно из двух положений, задача имеет два решения.
Задача 5. Дана горизонтальная проекция отрезка CD, достроить его фронтальную проекцию, если действительная величина отрезка CD равна 50 мм (рис. 33).
Анализируем графическое условие задачи:
Для решения этой задачи воспользуемся методом прямоугольного треугольника. Дана горизонтальная проекция отрезка СD. В прямоугольном треугольнике эта проекция будет являться катетом, второй катет выстраивается перпендикулярно проекции. Угол наклона отрезка к плоскости проекций (в данном случае фронтальной) располагается между катетом (проекцией) и гипотенузой треугольника.
Порядок выполнения графической части задачи:
1. Строим прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе. Из точки с восстанавливаем перпендикуляр к горизонтальной проекции отрезка – сd. Из точки d проводим дугу окружности радиусом, равным натуральной величине отрезка. По условию это будет R = 50 мм.
2. Пересечение построенной дуги окружности с перпендикуляром, восстановленным из точки с, даст точку Со – это будет третья вершина искомого прямоугольного треугольника. Величина второго катета является разностью расстояний конечных точек отрезка до плоскости (в нашем случае фронтальной) и обозначается как ΔZ.
3. На фронтальной плоскости проекций от точки с′ проводится линия равных аппликат параллельно оси Х до пересечения с линией связи от точки d′ (фронтальной проекции точки D) и далее, от точки пересечения, вдоль линии связи вверх или вниз откладывается величина ΔZ и определяется положение точки d′ (фронтальной проекции точки D). Соединив точки с′ и d′, получим фронтальную проекцию отрезка CD.
В связи с тем, что фронтальная проекция точки D может занимать одно из двух положений, задача имеет два решения.
Задача 6. Дана прямая N, проходящая через точку А (рис. 34). На заданной прямой построить точку В, отстоящую от точки А на 45 мм.
Рис. 34. Графическое условие задачи Рис. 35. Решение задачи
Решение. Анализируем графическое условие задачи: расстояние 45 мм непосредственно на данном эпюре отложить нельзя, т. к. прямая L является прямой общего положения и проецируется на плоскости проекций V и Н с искажением.
Задача решается путем определения длины произвольного отрезка, лежащего на этой прямой, с последующим построением его заданной длины.
Порядок выполнения графической части задачи (рис. 35):
1. Так как прямая в пространстве бесконечна, нам нужно ограничить ее отрезком произвольной длины, тогда можно найти натуральную величину этого отрезка. На прямой N берем произвольную точку С.
2. Определяем длину отрезка АС (метод прямоугольного треугольника). Замеряем длину гипотенузы треугольника асСо.
3. В зависимости от того, какой получилась действительная длина произвольного отрезка, необходимо уменьшить или увеличить длину гипотенузы (натуральной величины отрезка) до необходимого размера. В нашем случае необходимо увеличение, для этого от точки а вдоль прямой аСо откладываем отрезок |аВо|, равный 45 мм.
4. Строим проекции точки В – b и b′. |AB| = 45 мм.