3.5 Исследование ряда истинных ошибок на нормальное распределение
Для решения этой первой задачи теории ошибок используем методику, изложенную в разделе математической статистики, и применим для вычисления оценок параметров формулы (3.3–3.5) настоящего параграфа.
Задача 3.5.1. В таблице 3.5.1 даны невязки 32‑х треугольников.
Невязки,
,
можно считать истинными ошибками ,
так
как сумму углов в треугольнике можно
рассматривать как измеренную величину,
истинное значение которой равно
.
Выполнить исследование ряда невязок на нормальный закон распределения.
Таблица 3.5.1 |
|||||||
№ |
невязки i |
№ |
Невязки i |
№ |
Невязки i |
№ |
невязки i |
1 |
–0,76 |
9 |
+1,29 |
17 |
+0,71 |
25 |
+0,22 |
2 |
+1,52 |
10 |
+0,38 |
18 |
+1,04 |
26 |
+0,06 |
3 |
–0,24 |
11 |
–1,03 |
19 |
–0,38 |
27 |
+0,43 |
4 |
+1,31 |
12 |
+0,00 |
20 |
+1,16 |
28 |
–1,28 |
5 |
–1,27 |
13 |
–1,23 |
21 |
–0,19 |
29 |
–0,41 |
6 |
–1,88 |
14 |
–1,38 |
22 |
+2,28 |
30 |
–2,50 |
7 |
+0,01 |
15 |
–0,25 |
23 |
+0,07 |
31 |
+1,92 |
8 |
–0,69 |
16 |
–0,73 |
24 |
–0,95 |
32 |
–0,62 |
Найдём ряд сумм, необходимых для дальнейшего исследования:
;
;
;
;
;
;
.
1).Вычисление
оценок параметров нормального
распределения
,
,
кривая плотности которого определяется
выражением (2.15):
),
.
2).Вычисление средней ошибки и коэффициента :
.
;
;
.
3).Определение вероятной ошибки и коэффициента .
Располагаем истинные ошибки в ряд по возрастанию их абсолютных величин:
+0,00; +0,01; +0,06;+0,07; –0,19; +0,22; –0,24; –0,25; +0,38; –0,38; –0,41; +0,43; –0,62; –0,69; +0,71; –0,73; –0,76; –0,95; –1,03; +1,04; +1,16; –1,23; –1,27; –1,28; +1,29; +1,31; –1,38; +1,52; –1,88; +1,92; +2,28; –2,50.
Находим:
;
;
.
4).Построение статистического группированного ряда.
Распределим
невязки (табл. 3.5.1) в двенадцати
интервалах (длину интервала примем
равной половине средней квадратической
ошибки, т.е.
= 0,55''), составим таблицу 3.5.2.
Таблица 3.5.2 |
|||||||
№ п/п |
Длины интервалов в долях m |
Длины интервалов в секундах
|
число ошибок mi |
частоты
|
Высоты прямо-угольников
|
||
1 |
–3,0m |
–2,5m |
–3,30 |
–2,75 |
0 |
0,000 |
0,000 |
2 |
–2,5m |
–2,0m |
–2,75 |
–2,20 |
1 |
0,031 |
0,056 |
3 |
–2,0m |
–1,5m |
–2,20 |
–1,65 |
1 |
0,031 |
0,056 |
4 |
–1,5m |
–1,0m |
–1,65 |
–1,10 |
4 |
0,125 |
0,227 |
5 |
–1,0m |
–0,5m |
–1,10 |
–0,55 |
6 |
0,188 |
0,342 |
6 |
–0,5m |
+0 |
–0,55 |
–0 |
5 |
0,156 |
0,284 |
7 |
+0 |
+0,5m |
–0 |
+0,55 |
7 |
0,219 |
0,398 |
8 |
+0,5m |
+1,0m |
+0,55 |
+1,10 |
2 |
0,062 |
0,113 |
9 |
+1,0m |
+1,5m |
+1,10 |
+1,65 |
4 |
0,125 |
0,227 |
10 |
+1,5m |
+2,0m |
+1,65 |
+2,20 |
1 |
0,031 |
0,056 |
11 |
+2,0m |
+2,5m |
+2,20 |
+2,75 |
1 |
0,031 |
0,056 |
12 |
+2,5m |
+3,0m |
+2,75 |
+3,30 |
0 |
0,000 |
0,000 |
|
|
|
|
∑ |
32 |
1,000 |
― |
В этой таблице mi означает число ошибок, попавших в i‑й интервал, которое подсчитывается непосредственно с учетом исходных данных таблицы 3.5.1. Если значение какой-то ошибки совпадает с границей интервала, то такую ошибку следует поместить в тот интервал, в котором теоретически ожидается большее число ошибок (см. рис 3.5.1)
|
|||||||
