2.4 Дополнительные характеристики формы кривой распределения: асимметрия и эксцесс

Нормированный центральный момент третьего порядка называют асимметрией (скошенностью)

Sk = µ3 /3x

(2.11)

а величина

E= µ4 /4x – 3	(2.12)

называется эксцессом и является мерой крутости, т.е. островершинности или плосковершинности кривой распределения.

Для кривой плотности нормального закона эти величины равны нулю: , .

Критериями нормального закона служат неравенства [1,стр.84]:

и ,

(2.13)

где

и ,

(2.14)

Значительное отклонение величин и от нуля, т.е. невыполнение условий (2.13), означает отклонение исследуемого распределения случайной величины от нормального. (Формулы для вычисления оценок параметров и будут приведены ниже)

2.5 Основные задачи математической статистики:

Математическая статистика решает следующие задачи:

1. Определение закона распределения случайной величины — задача сглаживания или выравнивания статистического ряда;

2. "Задача проверки правдоподобия гипотез", тесно связанная с первой задачей, позволяет ответить на вопрос : хорошо ли согласуются результаты опыта с гипотезой о подобранном законе распределения вида  (для ответа на этот вопрос служат "критерии согласия");

3. Задача об определении наилучших оценок неизвестных параметров, например, параметров  и  , и задача оценки точности этих оценок.

2.5.1 Определение закона распределения на основе опытных данных

Исследование распределения статистического ряда начинается с построения гистограммы (рис. 2.1). По виду гистограммы, а также исходя из соображений, связанных с существом задачи, делают предположение о виде теоретической кривой распределения. Если, например, исследуется ряд случайных ошибок измерений, то можно считать, что теоретической кривой является кривая нормального распределения вида (1.1). Тогда задача сводится к рациональному выбору параметров α и ² в выражении (1.1).

Требование одного из методов оценивания параметров - «метода моментов», состоит в том, чтобы основные неизвестные параметры α и ² были равны соответствующим статистическим характеристикам :

α = и ²=  ,

определяемым по формулам  статистических моментов (2.5) и (2.6).

Тогда уравнение кривой (1.1) принимает вид:

.	(2.15)
Выражение (2.15) обычно приводят к виду ,	(2.16)
где		(2.17)

выбирают из таблиц Приложения A по аргументу .

Затем на графике гистограммы строится выравнивающая её теоретическая кривая по значениям х_i и  , вычисленным для левых границ интервалов х_i (см. таблицу 3.5.3).

Рис. 2.1 — Гистограмма и выравнивающая кривая