2. Элементы математической статистики

Законы распределения случайных величин и их числовые параметры устанавливаются на основе опыта, эксперимента. Разработкой методов регистрации, описания и анализа экспериментальных данных занимается специальная наука – математическая статистика.

2.1 Основные понятия.

Результаты наблюдений  над случайной величиной Х называют выборкой из генеральной совокупности (из всех возможных значений случайной величины Х).

При большом числе наблюдений выборку оформляют в виде статистического группированного ряда:

для этого весь диапазон значений х_i делится на интервалы, подсчитывается количество значений x_i, приходящееся на каждый интервал m_i , затем вычисляются частоты .

Составляют таблицу: статистический ряд распределения.

Таблица 2.1
Интервалы			…
M	m1	m2	…	mi
Q	Q1	Q2.	…	Qi

Практика показывает, что число интервалов k должно быть порядка 10–20, а длины интервалов выбирают такими, чтобы величины m_i были не менее 5.

Статистический ряд графически оформляется в виде гистограммы (рис. 2.1).

Для этого по оси абсцисс откладывают интервалы, на которых строят прямоугольники, площади которых равны Q_i . Ясно, что . Высоты прямоугольников вычисляют по формуле

.

(2.1)

Аналогом функции распределения  в теории вероятностей в математической статистике служит статистическая функция распределения

.

(2.2)

2.2 Числовые характеристики.

Статистические начальные и центральные моменты определяются по формулам:

;	(2.3)
.	(2.4)

Статистические математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение определяют соответственно по формулам:

;	(2.5)
;	(2.6)
.	(2.7)

3. Дополнительные характеристики разброса случайной величины

Кроме среднего квадратического отклонения  (Х)

иногда применяют другие характеристики разброса случайной величины: среднее и вероятное отклонения.

Среднее отклонение   — это центральный абсолютный момент первого порядка

.

(2.8)

Вероятным отклонением  r называют величину, равную половине длины участка, симметрично расположенного относительно математического ожидания, вероятность попадания на который равна 0,5.

Вероятное отклонение находят из условия:

.

(2.9)

Для нормального закона распределения случайной величины Х имеют место следующие соотношения между характеристиками разброса случайной величины:

и .

(2.10)

Выполнение этих соотношений свидетельствует о близости закона распределения исследуемого статистического ряда к нормальному закону распределения.

Формулы оценок параметров * и r* будут приведены в параграфе «Критерии точности измерений».