2.5.2 Критерий согласия пирсона

В качестве меры расхождения между кривой и гистограммой К. Пирсон предложил вычислять величину

,

(2.18)

где m_i — практическое число значений х_i в i‑м  интервале; k — число интервалов;  — теоретическое число значений  х_i, ожидаемое в i‑м  интервале при подобранном распределении  ; р_i —теоретическая вероятность попадания в i‑й  интервал, определяемая, например, для нормального закона по формуле (1.7).

Величина ² подчинена "хи-квадрат" распределению, зависящему от одного параметра r, называемого числом степеней свободы:

,

(2.19)

где k — число интервалов, s — число параметров, оцениваемых по выборке.

Степень согласованности теоретического и статистического распределений оценивается вероятностью  Р, полученной из таблиц Приложения E по аргументу r и величине ².

Критическим значением вероятности считают  [1,стр.79].

Поэтому, если полученное из таблиц значение вероятности окажется меньше критического уровня значимости, т.е.  , то делают вывод о том, что результаты опыта следует считать противоречащими гипотезе о предполагаемом законе распределения вида  .

2.5.3 Оценивание параметров. Методы оценивания параметров.

_{При малом числе измерений нельзя решить задачу определения закона распределения, можно лишь найти оценки основных параметров  и  (приближённые значения неизвестных параметров   и  ).}

Оценкой  неизвестного параметра  а называют любую функцию

элементов выборки .

Наилучшей (оптимальной) из всех возможных значений оценок называют такую оценку, для которой выполняются свойства:

1. Состоятельности, т.Е. ; (2.20)

2. Несмещённости, т.Е. ; (2.21)

(невыполнение этого требования приводит к систематической ошибке в оценке параметра);

3. Эффективности, т.Е. (2.22)

Последнее свойство означает выбор из всех оценок оценки с минимальной дисперсией, т. е. наиболее точной оценки.

Можно показать, что, "наилучшей" оценкой для неизвестного математического ожидания  является среднее арифметическое, т.е.   = (2.5).

Существует три метода оценивания параметров:

1. метод моментов (рассмотрен на стр. 12 );

2. метод максимального правдоподобия (см. учебник 2);

3. метод наименьших квадратов (подробно излагается во 2-й части курса).

2.5.4 Доверительные интервалы и доверительная вероятность

Оценка неизвестного параметра одним числом, например, по формуле (2.5), называется точечной оценкой.

Недостаток такой оценки состоит в том, что точечная оценка  является величиной случайной и не совпадает с точным значением параметра  а, особенно при малом числе измерений.

Более совершенным является способ оценивания с помощью доверительных интервалов. В задачу интервального оценивания входит построение интервала, который с заранее выбранной доверительной вероятностью  накрывает неизвестное точное значение параметра.

 —близкая к единице доверительная вероятность.В практических расчётах   принимается равной : 0,90÷0,95.

Так, доверительный интервал для неизвестного математического ожидания, при известном среднем квадратическом отклонении  находят по формуле:

,

(2.23)

где и . (2.24)

Коэффициент t выбирается из таблиц интеграла вероятностей (Приложение B) по заданной вероятности  .

Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении  имеет следующий вид:

,

(2.25)

где

; ; . (2.26)

Коэффициент t_ определяют по заданной вероятности  и числу степеней свободы  в таблице распределения Стьюдента (Приложение D).

Однако при большом числе измерений распределение Стьюдента приближается к нормальному закону распределения вероятностей. Поэтому при n > 30 и при неизвестном коэффициент t можно выбирать из таблиц интеграла вероятностей (Приложение B) по заданной вероятности  .

2.6 ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

2.6.1 ПОНЯТИЕ О СТАТИСТИЧЕКИХ СВЯЗЯХ

Существует две формы зависимости между величинами Х и Y: функциональная и статистическая или вероятностная.

Функциональной зависимостью между двумя величинами Х и Y называют такую зависимость, при которой каждым значениям  Х соответствуют значения Y, которые можно точно указать.

Статистической зависимостью между величинами Х и Y называют такую зависимость, при которой каждому значению Х соответствует распределение значений Y, изменяющееся вместе с изменением Х.

Частным случаем статистической связи является прямолинейная корреляционная зависимость, при которой с изменением  Х изменяется математическое ожидание  Y по линейному закону.

2.6.2 КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Теснота линейной корреляционной связи между двумя величинами Х и Y (степень близости корреляционной связи к функциональной) характеризуется коэффициентом корреляции

,

(2.27)

(  —корреляционный момент, центральный смешанный момент второго порядка, важная числовая характеристика системы двух случайных величин).

Свойства коэффициента корреляции:

Коэффициент корреляции изменяется в пределах:  .

В случае, когда  , имеет место отрицательная корреляция;

при  говорят о положительной корреляции.

Если , то имеет место функциональная прямолинейная связь.

Если  , то между Х и Y прямолинейная корреляционная связь отсутствует (однако другой вид связи может существовать)

Оценка коэффициента корреляции определяется по формуле

,

(2.28)

где  — статистический корреляционный момент .

, , вычисляются по формулам:

; ; .

(2.29)

Для оценки надёжности коэффициента корреляции  при большом числе измерений ( ) применяют критерий Романовского:

связь считается установленной, если выполняется условие

,

(2.30)

где

.

(2.31)

Для оценки надёжности  при малом числе измерений ( ) применяют критерий Фишера (см. задачу 2.2).