4. Построение доверительного интервала, с заданной вероятностью  накрывающего неизвестное истинное значение X

.	(3.33)

3.8.4 Порядок обработки ряда неравноточных измерений

Задача 3.8.3. Отметка узлового репера получена по шести ходам, известны средние квадратические ошибки определения отметки по каждому ходу   (в мм). Найти наиболее надёжное значение отметки репера и произвести оценку точности.

Таблица 3.8.1
№	(м)	(мм)		(мм)			(мм)
1	196,529	6,3	0,25	+12	+3,00	+36,0	+1	+0,25	00,2
2	,522	8,4	0,14	+5	+0,70	++3,5	–6	–0,84	05,0
3	,517	9,1	0,12	+0	+0	++0	–11	–1,32	14,5
4	,532	4,3	0,54	+15	+8,10	121,5	+4	+2,16	08,6
5	,530	5,2	0,37	+13	+4,81	+62,5	+2	+0,74	01,5
6	,520	7,5	0,18	+3	+0,54	++1,6	–8	–1,44	11,5
			1,60		17,15	225,1		–0,45	41,3

Решение:

Веса вычисляем по формуле ^), примем .

1.Вычисление наиболее надёжного значения отметки репера:

,

, .

Вычисление уклонений от среднего весового , а также сумм , , непосредственно в таблице 3.8.1.

Контроли вычислений:

1. ; ;

2. ; .

Контроли выполнены.

1. Вычисление средней квадратической ошибки измерения с весом, равным единице

.

2. Вычисление средней квадратической ошибки наиболее надёжного значения отметки репера:

.

Оценим надёжность определения  и :

;

.

Ответ: .

3.9. Оценка точности по разностям двойных измерений

В геодезии часто приходится измерять большие группы однородных величин, причём каждую величину для обеспечения контроля измеряют не менее двух раз.

Двойные измерения в ряде случаев представляют собой единственную информацию, по которой необходимо выполнить оценку точности.

3.9.1 Двойные равноточные измерения

Пусть однородные величины измерены равноточно, дважды и получены результаты измерений:

Требуется выполнить математическую обработку ряда двойных измерений.

Наиболее надёжные значения определяемых величин находим по формуле: .		(3.34)

Для оценки точности

выполненных измерений используем разности, составленные по формуле

.	(3.35)

Рассмотрим два случая оценки точности:

а) в результатах отсутствуют систематические ошибки;

б) в результатах обнаружены систематические ошибки.

1. При отсутствии систематических ошибок разности d_i можно рассматривать как истинные ошибки самих разностей (так как истинное значение разностей равно нулю ).

Применяя к ряду  формулу Гаусса (3.3), находим:

.

(3.36)

Применяя к выражению (3.35) формулу (3.12), и учитывая, что двойные измерения выполнены равноточно, получаем формулу для вычисления средней квадратической ошибки отдельного результата измерений :

.

(3.37)

Тогда с учетом (3.18) средняя квадратическая ошибка наиболее надёжных значений измеряемых величин вычисляется по формуле:

.

(3.38)

2. Если в результатах измерений присутствуют систематические ошибки, то величина

,

(3.39)

называемая остаточным влиянием систематических ошибок, существенно отличается от нуля.

В этом случае из каждой разности необходимо исключить остаточное влияние систематических ошибок, т. е. получить новые разности

.	(3.40)
Рассматривая разности  как уклонения от среднего  и применяя к этим разностям формулу Бесселя, находим
.	(3.41)

Средние квадратические ошибки отдельного результата измерений и наиболее надёжных значений измеряемых величин находим по формулам:

,	(3.42)
.	(3.43)

Заметим, что в этом случае необходимо выполнить контроли вычислений по формулам:

1) , где ; 2) .

(3.44)

Для определения значимости отклонения от нуля применяют неравенство

,

(3.45)

где выбирают из таблиц Стьюдента по заданной вероятности и числу степеней свободы  , а при  коэффициент  t выбирают из таблиц интеграла вероятностей по заданной вероятности  .

Так, при  для  = 0,95 находим из таблицы Приложения В коэффициент , и неравенство (3.45) принимает вид:

. (3.46)

Иногда применяют более жёсткий критерий обнаружения систематических ошибок

(3.47)

Этот критерий получается, исходя из следующего требования : остаточное влияние систематических ошибок не должно превышать 20% от влияния случайных ошибок, т.е. .

Оценку точности начинают с проверки условия (3.45) или (3.47). Если, например, неравенство (3.47) выполняется, то делают вывод о том, что систематическими ошибками можно пренебречь и оценку точности следует выполнять по формулам (3.37 – 3.38).

Если неравенство (3.47) не выполняется, то делают заключение о том, что систематическими ошибками пренебрегать нельзя, необходимо оценку точности выполнять по формулам (3.42- 3.43).