7).Вычисление оценок скошенности и эксцесса

Sk* = µ*3 /(*)3 ; E*= µ*4 /(*)4 – 3 (3.9)
и проверка соотношений (3.10)) [1, стр.81], которые являются критериями нормального закона: ; , (3.10) Находим:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; , _E =0,86.

Как видно из вычислений, соотношения (3.10) выполняются.

В результате исследования приходим к выводу о том, что рассматриваемый ряд истинных ошибок  является действительно рядом случайных ошибок, подчиняющихся приближенно нормальному закону, так как:

1. Для данного ряда выполняются свойства случайных ошибок:

1. среднее арифметическое  практически равно нулю (это означает отсутствие систематических ошибок в результатах измерений);

2. положительные и отрицательные ошибки , равные по абсолютной величине, примерно одинаково часто встречаются в данном ряде (см. гистограмму);

3. малые по абсолютной величине ошибки встречаются чаще, чем большие (см. гистограмму);

4. случайные ошибки  с заданной вероятностью  не превосходят определенного предела, равного  . В данном ряде нет ни одной ошибки, превышающей предельную ошибку, равную .

2. Коэффициенты   и  совпадают с их теоретическими значениями ( ; ).

3. Вероятность  велика, так как значительно больше критического уровня значимости, равного 0,1 [1,стр.79].

4. Величины скошенности и эксцесса незначительно отличаются от нуля.

3.6 Оценка точности функций измеренных величин

В геодезии часто искомые величины измерить непосредственно не представляется возможным, эти искомые величины находят в результате вычислений, как функции измеренных величин (аргументов).

Одной из важнейших задач теории ошибок является оценка точности функций измеренных величин. Очевидно, что средняя квадратическая ошибка функции будет зависеть как от ошибок измерения аргументов, так и от вида функции.

3.6.1 Средняя квадратическая ошибка функции

Пусть дана функция ,

(3.11)

где  аргументы измерены некоррелированно. Известны их средние квадратические ошибки  .

Средняя квадратическая ошибка функции (3.11) вычисляется по формуле:

.

(3.12)

Если результаты измерений величин коррелированы, т.е. коэффициенты попарной корреляционной связи отличны от нуля, , то средняя квадратическая ошибка функции вычисляется по формуле:

.

(3.13)

где  —частные производные функции, взятые по точным значениям величин Х_i, но вычисленные по их приближённым значениям, в качестве которых принимают измеренные значения  х_i, близкие к их точным значениям.

Предрасчёт ожидаемой средней квадратической ошибки функции по формулам  (3.12)  и  (3.13) называют решением прямой задачи теории ошибок.

Задача 3.6.1

В треугольнике измерены два угла, известны их средние квадратические ошибки  , . Найти среднюю квадратическую ошибку третьего угла, вычисленного по двум измеренным.

Решение. Составляем функцию ;

- постоянное число; x₁ и x₂ — независимо измеренные аргументы.

Находим частные производные: ; ;

Применяя формулу (3.12), находим:

; .

Задача 3.6.2

Определить среднюю квадратическую ошибку превышения, вычисленного по формуле   ,

где S - горизонтальное проложение,  - угол наклона.

Известно, что ; ; ; ; .

Решение:

Находим превышение

и по формуле (3.12) его среднюю квадратическую ошибку  m_h:

^), где ;

Тогда ,

где ; ; ; .

Приведем следующие практические рекомендации для вычислений по формуле  (3.12).

Известно, что величина m_h должна быть получена с двумя (или тремя, если число начинается с единицы) значащими цифрами.

Чтобы это требование обеспечить, необходимо в промежуточных вычислениях по формуле (3.12) удерживать в числах на одну значащую цифру больше, т.е. оставлять три (или четыре) значащие цифры, а сами числа следует представлять в стандартной форме:

например, число 0,04366² необходимо записать так: ; число 3438² следует записать так: ; число 143,5² можно записать так: 14,35² x 10² , или 1,435² x 10⁴.

Такие действия позволяют оперировать с разумным количеством значащих цифр в числах, позволяют упростить вычисления по формуле (3.12) и, кроме того, дадут возможность получить представление о величине влияния каждого источника ошибок на общую среднюю квадратическую ошибку функции. С учётом сказанного выше находим:

По результатам вычислений видно, что влияние линейных и угловых ошибок измерений на общую ошибку функции в данной задаче примерно одинаково.

Окончательно получаем: .

Ответ: .