4.2.4. Анализ временных рядов при наличии автокорреляции в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

При моделировании временных рядов ряд остатков может содержать циклические колебания или тенденцию, т.е. величина каждого следующего значения зависит от предыдущего – наблюдается автокорреляция остатков.

Автокорреляция остатков имеет следующие причины:

1. наличие ошибок измерения фактических значений;

2. некорректная формулировка модели, модель не включает фактор, существенно воздействующий на результат, или выбрана неправильная функциональная форма модели;

3. модель не учитывает второстепенные факторы, совместное влияние которых оказывает существенное влияние на результат.

Наиболее распространенные методы определения автокорреляции остатков:

1. непосредственное вычисление автокорреляции остатков;

2. построение графика зависимости остатков от времени – визуальное определение автокорреляции;

3. использование критерия Дарбина-Уотсона, и расчет величины

(245)

где коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.

В случае отсутствия автокорреляции и , при положительной автокорреляции и , а при отрицательной автокорреляции и

Для выявления автокорреляции при помощи критерия Дарбина-Уотсона:

1. выдвигаем гипотезы

• нулевая гипотеза - автокорреляция остатков отсутствует

• альтернативна гипотеза - существует положительная автокорреляция остатков

• альтернативна гипотеза - существует отрицательная автокорреляция остатков

2. определяем критические значения критерия Дарбина-Уотсона и по специальным таблицам для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости .

3. Разобьем числовой промежуток возможных значений критерия Дарбина-Уотсона на 5 отрезков. Изобразим результат Дарбина-Уотсона графически, рисунок 19.

	отвергается (положительная автокорреляция остатков). С вероятностью принимается			Зона неопределенности			принимается (отсутствие автокорреляции)					Зона неопределенности			отвергается (отрицательная автокорреляция остатков). С вероятностью принимается
0									2								4

Рисунок 19.

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то гипотеза также отклоняется.

Недостатками критерия Дарбина-Уотсона является:

1. Неприменим к моделям авторегрессии.

2. Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.

3. Даёт достоверные результаты только для больших выборок.

Пример 36. имеются временные ряды и (табл. 74). Необходимо на уровне значимости выявить наличие автокорреляции остатков для временного ряда .

Решение.

1. Построим и решим уравнение линейного тренда

2. Найдем значения остатков , в таблице рассчитаем все возможные значения, подставим в уравнение

Таблица 74

1	43	70	42,48	0,52
2	44	74	44,20	-0,20	-0,72	0,52	0,28
3	40	68	41,61	-1,61	-1,42	2,01	0,04
4	45	75	44,63	0,37	1,99	3,94	2,61
5	47	78	45,92	1,08	0,71	0,50	0,14
6	48	80	46,78	1,22	0,14	0,02	1,17
7	49	85	48,93	0,07	-1,15	1,33	1,48
8	49	88	50,23	-1,23	-1,29	1,67	0,00
9	50	88	50,23	-0,23	1,00	1,00	1,50
Итого	415,00	706,00	415,00	0,00	-0,75	10,99	7,22

По таблице найдем критические значения критерия Дарбина-Уотсона, для и , для нашего примера и

	отвергается (положительная автокорреляция остатков). С вероятностью принимается			Зона неопределенности			принимается (отсутствие автокорреляции)					Зона неопределенности			отвергается (отрицательная автокорреляция остатков). С вероятностью принимается
0									2								4

Рисунок 20.

Наглядно видно (рис. 20), что фактическое значение попадает в промежуток принятия нулевой гипотезы - отсутствие автокорреляции (необходимо помнить, что критерий Дарбина-Уотсона применим лишь для больших выборок, поэтому данную задачу можно рассматривать лишь как пример расчета).

Пример 37. Имеются данные о среднемесячной прибыли и затратах на рекламу (табл. 75).

Таблица 76

Год
1996	43	70	41,32	1,68
1997	44	74	43,74	0,26	1,68
1998	40	68	40,11	-0,11	0,26
1999	45	75	44,35	0,65	-0,11
2000	47	78	46,16	0,84	0,65
2001	48	80	47,37	0,63	0,84
2002	49	85	50,4	-1,40	0,63
2003	49	88	52,22	-3,22	-1,40
2004	50	88	52,22	-2,22	-3,22
2005	55	96	57,06	-2,06	-2,22
2006	57	97	57,66	-0,66	-2,06
2007	56	94	55,85	0,15	-0,66
2008	58	97	57,66	0,34	0,15
2009	62	99	58,88	3,12	0,34
2010	64	104	61,9	2,10	3,12
Коэффициент автокорреляции					0,69

Решение.

1. Построим линейную регрессионную модель и рассчитаем ее параметры

2.

По таблице найдем критические значения критерия Дарбина-Уотсона, для и , для нашего примера и

	отвергается (положительная автокорреляция остатков). С вероятностью принимается			Зона неопределенности			принимается (отсутствие автокорреляции)					Зона неопределенности			отвергается (отрицательная автокорреляция остатков). С вероятностью принимается
0									2								4

Рисунок 21.

Наглядно видно (рис. 21), что фактическое значение попадает в промежуток опровержения нулевой гипотезы - отсутствие автокорреляции, принимается альтернативная гипотеза - положительная автокорреляция остатков.